Геометрия.Планиметрия.Окружность вписана в треугольник

[badgo]

Окружность, вписанная в треугольник ABC касается стороны AC в точке K, AK=m,KC=n,угол ABC=120
Найти площадь ABC.
Пните пжста в нужном направлении,в тупике.

[neo66]

Воспользуйтесь теоремой косинусов.

[gris]

Я вижу лобовое и неизящное решение. Обозначить радиус через $r$, вспомнить, где располагается центр окружности, найти тангенсы половинок углов $A$ и $C$, узнать чему равняется тангенс их суммы. А потом выразить площадь через радиус и данные отрезки и сравнить получившиеся выражения.
Но, несомненно, истинное решение намного проще и красивее

[badgo]

Цитата:

Но, несомненно, истинное решение намного проще и красивее

Не поделитесь?

[gris]

А я его не знаю. Может быть и правда, через теорему косинусов?
А чего Вам с тангенсами не понравилось?

[badgo]

С тангенсами...а где прямоугольный треугольник?

-- Пн дек 06, 2010 22:43:56 --

Теорему косинусов тоже не вижу где применить

[gris]

Начертите чертёж. Пряоугольные треугольники образованы радиусом, проведённым к длинной стороне, и её отрезками. Можно найти и тангенсы, и площадь маленького треугольника.

[neo66]

Обозначим "боковые" стороны через $a$ и $b$. Тогда по теореме косинусов: $a^2 + b^2 + ab= (m+n)^2$.
Кроме того: $a-b=m-n$ и $S=\frac{1}{2}absin(120^\circ)$. Откуда Вы и сами легко найдете площадь $S$ через $m$ и $n$.

[gris]

Снова в порядке словоблудия.
Иногда увидишь путь к решению, далеко не эффективный, и уже не хочется искать что-то другое. А надо. Но бывает нахлынет какое-то отупение и совершенно ничего не видишь. (я про себя, есличо ). Хотя ответ, полученный неэффективно, может натолкнуть на новые идеи и на красивое решение.
Надеюсь, ТС уже решил задачу, и я приведу свои идеи.
Начертив чертёж, мы легко видим, что

$S=rm+rn+r^2/\sqrt3$.

С другой стороны, рассмотрев тангенсы упомянутых половинок углов, можно написать формулу для тангенса их суммы, которая равна ясно чему.

$\dfrac{\dfrac rn+\dfrac rm}{1-\dfrac{r^2}{nm}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\quad\Rightarrow \quad rm+rn=nm/\sqrt3- r^2/\sqrt3$

Откуда появляется острейшее желание найти чисто геометрическое решение .

[TOTAL]

На каждой стороне равностороннего треугольника со стороной $m+n$ построим внутрь наш треугольник.
И увидим, что искомая площадь равна $S=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt3}{4}(m+n)^2- \frac{\sqrt3}{4}(m-n)^2 \right)$