Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

[Sate]

Как понять эту формулу?
$d^nf(x,y,z)=(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y} + dz\frac{\partial}{\partial z})^nf(x,y,z)$
Сумма дифференциалов в степени n умножается на $f(x,y,z)$, которая стоит в конце, или как?

[gris]

Выражение чисто формально возводится в степень и функция опять же чисто формально вносится в скобки.
На примере:

$$df(x,y,z)=(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y} + dz\frac{\partial}{\partial z})^1f(x,y,z)=dx\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} + dy\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} + dz\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}$$

$$d^2f(x,y,z)=(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y} + dz\frac{\partial}{\partial z})^2f(x,y,z)=$$

$$=dx^2\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x\partial x} + d^2y\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y\partial y} + d^2z\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z\partial z}+$$

$$+2dxdy\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x\partial y}+2dxdz\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x\partial z}+2dydz\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y\partial z}$$

Более привычно будет поменять местами частные производные и дифференциалы переменных, ибо тут уж обычное умножение:

$$...+2\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x\partial y}dxdy+2\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x\partial z}dxdz+...$$

[Sate]

то есть данная формула равносильна этой?
$d^nf(x,y,z)=(dx\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} + dy\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} + dz\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z})^n$
или этой?
$d^nf(x,y,z)=(dx\frac{\partial^n f(x,y,z)}{\partial x} + dy\frac{\partial^n f(x,y,z)}{\partial y} + dz\frac{\partial^n f(x,y,z)}{\partial z})^n$

[gris]

Нет, неравносильна. Ни первой, ни второй.

Это символьная формула для запоминания и практического применения. Скобка не умножается на функцию, а применяется к ней как оператор. Поэтому надо вначале аккуратно возвести выражение в степень, а потом к каждому слагаемому приписать справа функцию. И брать от неё смешанные производные соответствующего порядка.

Строго формула может быть представлена в виде суммы с биномиальными коэффициентами, и она даже для трёх переменных слишком сложна для запоминания.

[Sate]

Спасибо:)