Масса пересечения конусов

[kaa12]

Есть система уравнений описывающих две пересекающиеся конические поверхности.
$ \left\{\begin{array}{l} z^2 = 0.05y^2 -x^2, \\ z^2 = 0.0025((y-5) - (x-5))^2 -0.5[(x-5)+(y-5)]^2. \end{array} \right$

Для нахождения массы области пересечения необходимо составить тройной интеграл. Проблема заключается в пределах интегрирования
Возможно ли вывести пределы интегрирования из указанной системы уравнений?

два пересекающихся конуса

общая часть конусов

[Yu_K]

Страшный какой софт у Вас. Хотя бы Маткад возьмите если есть желание посмотреть объект пересечения. Второе уравнение -поворот и сдвиг там сидит. Наверное, придется какие-нибудь конические координаты вводить.
И можно для начала сечения плоскостями $y=const$ посмотреть. Там что-то должно проясниться.

[Yu_K]

http://s04.radikal.ru/i177/1012/36/0eb5110031a6.gif - тяжелая задача, можно разбивать на части попроще, но все таки лучше Монте Карло. Насколько нужна высокая точность вычисления массы? И хотя бы плотность константа?

[kaa12]

Yu_K в сообщении #382899 писал(а):

тяжелая задача, можно разбивать на части попроще, но все таки лучше Монте Карло.

как на части попроще?

Yu_K в сообщении #382899 писал(а):

Насколько нужна высокая точность вычисления массы? И хотя бы плотность константа?

точность 99%
масса радиально по ехр спадает от начала координат

-- Пт дек 03, 2010 10:33:31 --

Yu_K в сообщении #382792 писал(а):

придется какие-нибудь конические координаты вводить.

цилиндричсекие или сферические не получится ввести, т.к. фигура не осесимметричная

[Yu_K]

Попроще на части - может быть так, если оставаться в декартовых. Симметрия есть некоторая в задаче - и можно обойтись половиной. Провести плоскость через три точки (0,0,0) (5,5,0) и еще одну точку на оси симметрии одного из конусов - там в сечении получится две пары прямых (у них будет 4 точки пересечения A B C D - такой кривой четырехугольник) - и надо будет еще посмореть проекцию линии пересечения этих конусов на эту плоскость - это будут две линии соединяющие пары точек A B и C D.

и потом интегрировать - в красной области одна будет система интегралов, в желтой другая.

Ну Монте Карло думаю Вам даст 99 процентов точности.

А конические координаты - это не сферические и не цилиндрические. Координаты могут быть любые - главное там правильно посчитать якобиан и главное чтоб было удобно работать с задачей. Например объем гнутого конуса (бараньего рога) удобно считать в координатах "бараньеконических"

[kaa12]

я пробовал расомтреть вариант с плоскостями, он подойдёт для конкретного случая, но задача - не просто найти массу указанного тела, а решение в общем виде.
в зависимости от сдвига картинка будет менятся вот так:



Уточню проблему, дело в том, что указанная в начале система - лишь частный случай общего вида:

тело состоит из общего множества точек, принадлежащего двум неравенствам
$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant arctg \frac {\sqrt {z^2+x^2}}{y^2} \leqslant \theta, \\ \\ 0 \leqslant arctg \frac {\sqrt {z^2+[(x-a)cos\alpha + (y-b)sin\alpha ]^2}}{(y-b)cos\alpha - (x-a)sin\alpha} \leqslant \theta. \end{array} \right$
оси конусов лежат в плоскости XY, первый выходит из (0,0,0) и осью совпадает с Y.

масса - есть предел суммы функции экспоненциального распределения (M=limE(F(x,y,z))), где X,Y,Z, взяты из массива, определяемого указанными неравенствами.

численно я могу решить данную задачу, но работа с массивами XYZ размерностью выше 100 по каждой координате занимает значительное время, и растёт экспоненцильно... (моделирую на Phenom II x4 3,4 ГГц, 8 Гиг оперативы) а для точности 99% необходимо размерность порядка 10000 (это наверно недели на расчёты уйдут)

поэтому я хотел бы составить интеграл в аналитическом виде
$\left M=\int \int \int dx dy dz \right $
где пределы интегрирования неким образом выводятся из системы неравенств общего вида

в различных учебниках есть примеры вычисления массы тел ограниченных 2-мя поверхностями (шар и цилиндр, конус и плоскость...) но это всё красивые случаи с красивым размещением ограничивающих поверхностей, уравнения которых - исходные данные.

мой случай красивым явно не назовешь...

по всем правилам моё выражение должно выглядеть так:
$\left M=\int_{y1}^{y2} \int_{x1(y)}^{x2(y)} \int_{z1(x,y)}^{z2(x,y)} dx dy dz \right $
(первым я поставил Y т.к. он совпадает с осью)

далее у меня возникают затруднения... т.к. функции ограничивающие пространство - частично замкнутые
либо есть другой подход к решению в аналитическом виде...?

PS:
вот мои мысли по сечениям
в левом сечении
$\left \int_1 + \int_2 + \int_3 \right $
пределы - это функции овалов, неким образом связанных с углом и сдигом второго конуса

в правом сечении
$\left \int_1 - (\int_2 + \int_3 + \int_4 ) \right $
пределы - это функции линий, неким образом связанных с углом и сдигом второго конуса

но здесь меня смущает то, что показано красной линий: в правой части будет два интеграла, в левой части - один

на данный момент "сечения" мне кажутся тупиковой веткой

[Cute]

Рисунок сделал к задаче.

[kaa12]

ошибся в формуле, нужно вот так

kaa12 в сообщении #383022 писал(а):

$ 0 \leqslant arctg \frac {\sqrt {z^2+x^2}}{y} \leqslant \theta$

[kaa12]

в декартовой системе
конус из начала координат вдоль Y это
$ \frac {\sqrt {z^2+x^2}}{y} = \tg\theta $

смещённый и повернутый конус вокруг Z это
$ \frac {\sqrt {z^2+[(x-a)\cos\alpha + (y-b)\sin\alpha ]^2}}{(y-b)\cos\alpha - (x-a)\sin\alpha} =\tg \theta. $

в цилиндрической системе
конус из начала координат это
$ \frac {\rho}{z} = \tg\theta $

смещённый и повернутый конус ?

Связанные темы соединены. Пожалуйста, не надо создавать для «подзадач» отдельные ветки. kaa12, перед стандартными функциями ставьте «\». /GAA

[Yu_K]

Вроде так вот все записывается - практически как и Ваша формула
$\left M=\int\int_{S} {z_2(x,y)} }} dx dy +\int\int_{S1} {z_1(x,y)} }}dx dy +\int\int_{S2} {z_1(x,y)} }} dx dy \right $

Здесь S - это желтая область, S1,S2 - красные области. Ну и плотность добавить еще под интеграл и все удвоить - так как здесь только верхняя половина. И что бы области правильно найти - нужно искать проекцию линии пересечения конусов на плоскость XY. Здесь $z_2(x,y)$ - это выражение для границы маленького конуса, $z_1(x,y)$ - это выражение для границы большого конуса, и взять корни с "плюсом" для этих выражений.

А в цилиндрической запишите выражение для смещеного радиуса $\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2}$.

[Yu_K]

для вашего варианта достотачно небольшие красные области получаются.

[kaa12]

спасибо за ответы,

(Оффтоп)

но это частное решение, а не в аналитическом виде, придётся мне ещё немного поломать голову над задачей