Вариационные принципы в гидродинамике

[Ales]

Докажем это используя дифференциальные формы.
Надо доказать что 1-форма $\omega = udx+vdy+wdz = gdf+dh$.
Рассмотрим ее дифференциал - форму $d\omega$.
Так-как степень характеристического многочлена равна трем (нечетна), то в каждой точке трехмерного пространства матрица этой 2-формы имеет действительное собственное значение $\lambda$.
Это действительное значение обязательно равно нулю, ведь матрица кососимметрическая: $d\omega (\vec a ,\vec a)=0=\lambda \vec a\vec a$.
То есть в каждой точке есть вектор $\vec R$, такой что $d\omega \vec R=0$.
Вдоль этого поля можно провести линии (линии ротора формы $\omega$).
Возьмем какую-нибудь поверхность которая не касается этих линий, определим на ней произвольную функцию$ f$ и продолжим ее вдоль линий на окружающее пространство, $df \vec R=0$ - $f$ не меняется вдоль поля $\vec R$.
Эта функция будет искомой.
В самом деле $d\omega \wedge df=0$ (это объем на скаляр, значит можно подставлять $\vec R$, но он обращается в нуль одновременно для $d\omega$ и $df$).
В координатах $(x,y,f)$ $\omega=pdx+qdf+sdy=(p-\frac {\partial \int sdy} {\partial x})dx+(q-\frac {\partial \int sdy} {\partial f} )df+d(\int sdy) =$
$=Pdx+Qdf+dH$.
Тогда $d\omega \wedge df=(dP\wedge dx+dQ\wedge df)\wedge df=dP\wedge dx\wedge df=\frac {\partial P} {\partial y}dy\wedge dx\wedge df$. Значит $\frac {\partial P} {\partial y}=0$, и функция $P=P(x,f)$.
Тогда $\omega=(Q-\frac {\partial \int Pdx} {\partial f})df+d(\int Pdx+H)=gdf+dh$.

-- Пт ноя 26, 2010 17:39:31 --

Но все это локально. А глобально так делать нельзя.
Можно, когда линии ротора устроены просто, а если они перепутаны - то нет.

-- Пт ноя 26, 2010 17:51:33 --

Замечу еще, что поле $\vec R=rot \vec V, \vec V= (u,v,w)$ .

[Ales]

Поток жидкости по Теореме Томсона (Кельвина) сохраняет циркуляцию, значит переносит ротор, и значит линии ротора переносятся в линии ротора.
Поэтому функцию $f$ можно сделать тем самым искомым переносимым потоком жидкости скаляром.
Для этого поверхность на которой первоначально определили эту функцию надо перенести с потоком жидкости сохраняя на ней эту функцию. После продолжения по линиям ротора будет получена функция (скалярная величина):
1. переносимая потоком $\frac {df} {dt}=0$
2. и такая что $\vec v=g\nabla f+\nabla h$.

Кажется, разобрался и навел мостик.

Thanks to myhand.

[Ales]

Еще и функцию $g$ можно подобрать так, что она сохранялась бы потоком: $\frac {dg} {dt}=0$.

-- Сб ноя 27, 2010 00:00:08 --

По теореме Томсона поток жидкости сохраняет $\int gdf$ по замкнутому контуру.
Значит $\int \frac {dg} {dt}df=0$ по любому замкнутому контуру, следовательно $\frac {dg} {dt}$ зависит только от $(f,t)$, $\frac {dg} {dt} =G(f,t)$.
Тогда $gdf+dh=(g-\int G(f,t)dt)df+d(\int (\int G(f,t)dt)df+h)=g_1df+dh_1$.
$\frac {dg_1} {dt}=0$

-- Сб ноя 27, 2010 00:06:36 --

В 4 части имеем: $v=\frac {\lambda} {\rho} \nabla \mu+\nabla \phi$,
или в виде 1-форм $vdx=\frac {\lambda} {\rho} d \mu+d \phi$.
$\frac {d(\frac {\lambda} {\rho})} {dt}=0$, $\frac {d\mu} {dt}=0$.

-- Сб ноя 27, 2010 00:12:24 --

Уравнение движения жидкости: $ \frac {dv} {dt}dx=-dw(\rho) $.
Уравнение неразрывности:$ \frac {d\rho} {dt}=-\rho div \vec v$.

[Ales]

Подставляя в уравнение движение выражение для $v$ получаем:
$ 0=\frac {dv} {dt}dx+dw(\rho)=\frac {d(vdx)} {dt}-vd\frac {dx} {dt}+dw(\rho)= $
$ =\frac {d(\frac {\lambda} {\rho} d \mu+d \phi)} {dt}-vdv+dw(\rho)= $
$ =\frac {d(\frac {\lambda} {\rho})} {dt}d \mu+\frac {\lambda} {\rho}d\frac {d \mu} {dt}+d\frac {d \phi}{dt}-vdv+dw(\rho)= 0 \cdot d \mu+\frac {\lambda} {\rho} \cdot 0 +d\frac {d \phi}{dt}-d\frac {v^2} 2+dw(\rho)$.

-- Сб ноя 27, 2010 00:33:57 --

Отсюда с учетом того, что $ w(\rho) $ определено с точностью до функции от времени получаем нужное уравнение (4.12)
$ \frac {d \phi}{dt}-\frac {v^2} 2+w(\rho)=0$ для движения.

-- Сб ноя 27, 2010 00:40:07 --

А вот эти уравнения, эквивалентные привычным и выводятся из вариаций приведенного там Лагранжиана.
Все, разобрался.

-- Сб ноя 27, 2010 00:42:07 --

Но все эти штуки определены только локально.

[Ales]

Ales в сообщении #380891 писал(а):

оток жидкости по Теореме Томсона (Кельвина) сохраняет циркуляцию, значит переносит ротор, и значит линии ротора переносятся в линии ротора.
Поэтому функцию $f$ можно сделать тем самым искомым переносимым потоком жидкости скаляром.

Поправка: сам ротор переносится в случае несжимаемой жидкости, если же жидкость сжимается, то переносится только направление ротора и линии ротора, длина ротора меняется обратно пропорционально расширению жидкости.

[DaGama]

Автору вопроса. Эта задача решена В.А.Журавлевым, см его книжку "Термодинамика необратимых процессов", Ижевск, 1998 г. DaGama.

[rebe1]

так вот же все есть:

Цитата:

Гамильтоновский формализм для нелинейных волн

В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов
Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, Москва, Российская Федерация

Представлен обзор по гамильтоновскому описанию систем гидродинамического типа для плазмы, гидродинамики и магнитной гидродинамики. Основное внимание уделяется проблеме введения канонических переменных. Указана связь с другими способами введения гамильтоновской структуры, в частности, с помощью скобок Пуассона, выраженных в естественных переменных. Показано, что вырожденность неканонических скобок Пуассона связана с существованием симметрии — группы переобозначений лагранжевых маркеров жидких частиц. Все известные теоремы о сохранении вихря (теоремы Коши, Эртеля, Томсона (Кельвина), вмороженности и сохранения топологического инварианта Хопфа) являются следствием данной симметрии. Введены канонические переменные в бесстолкновительную кинетику плазмы. Обсуждается вопрос о гамильтоновских структурах уравнений Бенни и уравнения, описывающего волны Россби. Введена гамильтоновская структура в уравнение Деви-Стюартсона. Представлен также общий метод исследования слабонелинейных волн, основанный на классической теории возмущений и редукции гамильтонианов

http://ufn.ru/ufn97/ufn97_11/Russian/r9711a.pdf

стр 1142 - 1145

[Munin]

Эта ссылка была дана ещё во 2 сообщении.

[DaGama]

Вот моя обновленная ссылка для приземленных инженеров, новая. Задача в заявленном виде решена в книжке:
В.А.Журавлев. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. М., Наука, 1979, 136 с. Там есть и гидродинамика с вязкостью, и магнитогидродинамика и вектор Пойнтинга. А неприятные для меня последствия применения методов книги есть в (ссылка удалена - pittite) Лагранжев подход в теории электрических цепей. Есть над чем задуматься...

[Munin]

DaGama
То, что задача приведена в задачнике, не значит, что она решена автором задачника. Обычно наоборот, если задача дошла до задачников, то в литературе её решение уже хорошо известно, и дано давно другими авторами.

[DaGama]

Munin
Уважаемый мною В.А.Журавлев избрал такую форму изложения материала, ну бывает иногда...ново и не апробировано. Цитаты:
"...книга была задумана с целью иллюстрации методов термодинамики необратимых процессов на основе тематически подобранных задач." "Книга содержит много оригинальных задач ... среди них задачи проблемного характера."

[egor20]

Наверно нельзя составить вариационный принцип для параболических уравнений (например для уравнения
теплопроводности). Много пробовал.

[myhand]

egor20 в сообщении #419295 писал(а):

Наверно нельзя составить вариационный принцип для параболических уравнений

А где Вы здесь видите параболические уравнения?