Легкое дифференциальное уравнение

[zluka]

Вот решаю дифур и не могу найти у себя ошибку:
все сводится к простому уравнению
$u'x=u^2+2u$ (1)
$\frac{ du }{ (u^2+2u) }=\frac{dx}{x}$
$\frac{ u }{ u+2 }=cx^2$
$u=\frac{ 2 }{ (1-cx^2) }-2$
но при подстановке в уравнение (1) не получается тождества
Помогите пожалуйста разобраться.

[venco]

zluka в сообщении #382436 писал(а):

при подстановке в уравнение (1) не получается тождества

А у меня получается.

[zluka]

Я взял с=1
тогда
$u=\frac{2}{1-x^2}$
$u'=\frac{-4x}{(1-x^2)^2}$
правда ведь?

-- Ср дек 01, 2010 19:21:35 --

Кажется понял, где обсчитался при проверке. Спасибо

-- Ср дек 01, 2010 19:34:15 --

Но все равно большое уравнение не сходится. Тогда вот исходное:
$xyy''-yy'=2x(y')^2$
Делаю замену
$y'=zy$
$тогда y''=(z'+z^2)y$
$имеем xy^2(z'+z^2)-zy^2=2xz^2y^2$
$xz'=xz^2+z$
$z'=z^2+\frac{z}{x}$
$квазиоднородное замена z=\frac{u}{x}$
как раз и имеем уравнение
$u'x=u^2+2u$
$u=\frac{2}{1-cx^2}-2$
тогда$z=\frac{2}{x-cx^3}-\frac{2}{x}$
и из уравнения $y'=zy$
имеем
$y=c_2(1-cx^2)$
но когда я подставляю в исходное уравнение $y=1-x^2$ нет тождества( Помогите пожалуйста найти баг

[venco]

В конце, когда интегрировали $y$, минус потеряли.

[zluka]

Спасибо venco
а то я уже начал с ума сходить)

[EtCetera]

zluka
Уравнение

zluka в сообщении #382451 писал(а):

$xyy''-yy'=2x(y')^2$

можно решить чуть проще:
$x^2 y\cdot\dfrac{xy''-y'}{x^2}=2x(y')^2$
$y\left(\dfrac{y'}{x}\right)'=\dfrac{2(y')^2}{x}$
$y\left(\dfrac{y'}{x}\right)'-y'\cdot\dfrac{y'}{x}=\dfrac{(y')^2}{x}$
$y^2\left(\dfrac{\frac{y'}{x}}{y}\right)'=\dfrac{(y')^2}{x}$
$\left(\dfrac{y'}{yx}\right)'=x\left(\dfrac{y'}{yx}\right)^2$
Далее, думаю, понятно.

[zluka]

Очень красиво, но задача была именно продемонстрировать, что я умею решать как однородное.