Помогите разобрться.Вычисление с погрешностью.

[The Last Samurai]

Как узнать сколько членов брать для вычисления к примеру $\sqrt[3] {0,126}$ с точностью $10^{-6}$?В учебнике написано,что надо решить какое-то неравенство с остаточным членом,плохо это понял.

[ИСН]

Что за ряд нужно применить? Что известно про его знаки? Что хорошего можно сказать про ряды, у которых такие знаки?

[Gortaur]

Советую использовать ряд Тейлора, остаточный член в форме Лагранжа - там понадобится оценить какую-то производную, тогда Вы сможете сказать при скольких членах ряда оценка будет достаточно хорошо для Вас.

[Someone]

Напишите ряд, оцените его $n$-ный остаток и потребуйте, чтобы оценка остатка была меньше заданной погрешности. Вот и будет Вам "неравенство с остаточным членом".
Вряд ли можно дать более конкретные советы до того, как Вы напишете ряд.

[Руст]

Вначале надо заметить, что $\sqrt[3]{0.125}=0.5$

[The Last Samurai]

Планируется использовать тейлора вблизи точки $x_0=0,125$.А вообще в чем разница остаточных членов в форме Лагранжа и Пеано? мы же все равно пишем в итоге "о малое от какой-то функции"

[Joker_vD]

The Last Samurai в сообщении #382477 писал(а):

А вообще в чем разница остаточных членов в форме Лагранжа и Пеано?

В возможности оценить погрешность численно.

[The Last Samurai]

и какие у каждого преимущества?

[Joker_vD]

The Last Samurai
Если член в форме Лагранжа, погрешность возможно оценить численно — т.е. в терминах "не больше $3\cdot10^{-4}$".
Если член в форме Пеано, погрешность численно оценить невозможно.

[The Last Samurai]

а форма Коши что дает?

[Gortaur]

Форма это нечто среднее - не слышал, чтобы ее использовали для численных оценок - обычно пользуются именно Лагранжем, что удобно в случае если можно ограничить производную порядка $(n+1)$.

[ewert]

The Last Samurai в сообщении #382713 писал(а):

а форма Коши что дает?

Форма Коши без дополнительного анализа (практически никому не нужного) даёт завышенную оценку погрешности по сравнению с формой Лагранжа.

[The Last Samurai]

а зачем их тогда придумали? почему общим видом не пользуются? и потом- мы же в асимптотике тупо остаточный член пишем "о малое от такого-то"

[Gortaur]

Мы это пишем, чтобы просто показать порядок сходимости. Например, численный метод - Вы показали, что умеете считать интеграл численно так, что остается только $o(\Delta x^4)$ - и вроде бы все отлично, метод прекрасен (и поистине, так оно и есть). Но по сути получается, что этого Вам будет достаточно только лишь если Вы захотите изучать предельные свойства Вашего метода.
Если же задача будет стоять именно посчитать интеграл с точной границей на ошибку, данный метод придется исследовать дальше, чтобы получить не только порядок малости остаточного члена, но и какие-нибудь оценки того же порядка желательно, причем строгие. Я имею ввиду, что в первом случае Вам достаточно знать что

$$ |R(\Delta x)| \leq \varepsilon(\Delta x)\Delta x^4, $$

где $\varepsilon(\Delta x)$ - стремится к нулю при $\Delta x$ стремящемся к нулю. Во втором же случае Вам нужно поточнее дать оценку на саму $\varepsilon(\Delta x)$, например через константу, т.е. скажем при $\Delta x < 0.01$ мы имеем $|R(\Delta x)| \leq 2 \Delta x^4$.
Для первого случая Вам достаточно формы Пеано, да она и легче выводится. Во втором случае понадобится что-то вроде формы Лагранжа.