знакопеременный ряд

[PreVory]

Доказать что ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin(x\sqrt{n})}{n^a}$ сходится при $a>\frac{1}{2}$ и рассходится при$a\leqslant\frac{1}{2}$ (при $x$ отличном от нуля)
Доказать сходимость на промежутке $a>\frac{1}{2}$ вроде удалось, переходя к интегралу.
Если $a\leqslant0$ то тоже понятно что расходится, а как доказать расходимость при $0<a\leqslant\frac{1}{2}$?

[paha]

На первый взгляд, с помощью преобразования Абеля что сходимость, что расходимость сводятся к оценке

$$ \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\sin(x\sqrt{k})=O(1) $$

[sup]

Пусть $a \leqslant 1/2$.
Пусть $2l\pi \leqslant x\sqrt{n} \leqslant (2l+1/2)\pi$.
Покажите, что на этом интервале
$\frac {sin(x\sqrt{n})} {n^a} \geqslant C (cos(x \sqrt{n-1}) - cos(x \sqrt{n})).$
Отсюда вытекает, что не выполнен признак Коши для частичных сумм.

[PreVory]

sup в сообщении #381963 писал(а):

Пусть $a \leqslant 1/2$.
Пусть $2l\pi \leqslant x\sqrt{n} \leqslant (2l+1/2)\pi$.
Покажите, что на этом интервале
$\frac {sin(x\sqrt{n})} {n^a} \geqslant C (cos(x \sqrt{n-1}) - cos(x \sqrt{n})).$
Отсюда вытекает, что не выполнен признак Коши для частичных сумм.

Получилось сделать как Вы сказали, спасибо)