Интегралы от равноизмеримых функций

[fatra]

Есть две неотрицательные равноизмеримые функции $f$ и $g$ на множестве Е. Нужно показать, что для любого $p, 1\le p<\propto$

$$ \int\limits_{E}^{} f^p dx = \int\limits_{E}^{} g^p dx$$

Если неотрицательные функции $f$ и $g$ равноизмеримы, то я вроде доказал, что и $f^p$ и $g^p$ равноизмеримы. Осталось доказать равенство интегралов для $p=1$, но не могу придумать, как перейти от равенства мер к равенству интегралов.

-- Вс ноя 28, 2010 14:11:17 --

На всякий случай привожу определение, может, кто не знает:
Функции $f$ и $g$ называются равноизмеримыми, если для любого действительного $a$ выполняется равенство

$$\mu(x\in E : f(x)>a) = \mu(x\in E : g(x)>a)$$

[Padawan]

$\int\limits_E f dx = -\int\limits_0^{+\infty} a\, d\mu(a)$, где $\mu(a)=\mu(x\in E : f(x)>a)$. Интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса.
Я предполагаю, что мера $E$ конечна.

[fatra]

Спасибо за подсказку. Но похоже надо сделать без использования интеграла Лебега-Стилтьеса, так как этот интеграл изучается позже. Возможно как-то из определения интеграла Лебега как равенство sup.

-- Вс ноя 28, 2010 16:06:29 --

Не могу получить равенство $\int\limits_{E}^{} f dx = - \int\limits_{0}^{\propto} a d\mu (a)$.
Например $E=[0,1], f(x) = 2$. Тем более справа интеграл зависит от $a$, а слева нет?!
Левый интеграл у меня равен в общем случае $a\mu(0)$.

Перепутал интеграл Лебега-Стилтьеса с Риманом-Стилтьесом.

[Padawan]

Ну Римана-Стилтьеса, какая разница. Если $f(x)=2$, то подумайте, чему равна функция $\mu(a)$?

[fatra]

Цитата:

Перепутал интеграл Лебега-Стилтьеса с Риманом-Стилтьесом.

Я имел ввиду, что я сначала посчитал по Риману-Стилтьесу, и не получил нужного результата.
По Лебегу-Стилтьесу нужно найти производную от меры.

Если положить $a=0$, то правый интеграл равен нулю, а левый может быть ненулевым.

Кажется понял свою ошибку, положить $a=0$ нельзя, это же подинтегральная переменная, я принял ее за константу.

-- Вс ноя 28, 2010 17:54:43 --

Padawan в сообщении #381412 писал(а):

$\int\limits_E f dx = -\int\limits_0^{+\infty} a\, d\mu(a)$, где $\mu(a)=\mu(x\in E : f(x)>a)$. Интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса.
Я предполагаю, что мера $E$ конечна.

Но получить это равенство, у меня пока не получается