Правая производная функции, заданной по двоичному разложению

[dzh0rdzh1]

Для каждого $x\in [0,1)$ существует единственное разложение $x=\sum^\infty_{n=1} \frac{a_n}{2^n},$ где все $a_n$ равны 0 или 1 и $a_n=0$ бесконечно часто. Определим функцию $f$ равенством $f(x)=\sum^\infty_{n=1} \frac{a_n}{4^n}.$ Я могу проверить, что $f$ - строго возрастающая, непрерывная справа функция, а вот доказать, что правая производная всюду равна нулю не выходит. Подскажите, пожалуйста, как это можно сделать.

[ewert]

dzh0rdzh1 в сообщении #381359 писал(а):

доказать, что правая производная всюду равна нулю не выходит

Контрпример. Возьмём в качестве икса двоичную дробь, у которой $a_{k}$ при $k=2^n$ равны нулю, а при всех остальных $k$ равны единице. А в качестве его приближения сверху -- двоичную дробь, у которой все разряды, начиная с некоторого нолика, инвертированы, а все предыдущие -- те же, что и у икса. По последовательности таких приближений (с расширяющимися неинвертированными участками) сходимость будет, но вовсе не к нулю.

[dzh0rdzh1]

ewert, спасибо! Правая производная нуль в двоично рациональных точках, а в приведенном примере не меньше 1/3, если существует.

[ewert]

dzh0rdzh1 в сообщении #381647 писал(а):

а в приведенном примере не меньше 1/3, если существует.

Она там не существует: достаточно в том примере инвертировать не целиком единичные участки, а только самую первую единичку на каждом таком участке. По такой последовательности предел будет всё-таки равен нулю.

(с другой стороны, если те участки ещё удлиннить, заменив там $2^n$ на, скажем, $3^n$, то предел будет бесконечным)