Решение системы ДУ в Maple

[_Student]

Доброй ночи всем!

У меня такая задача: найти $t$, такое, что траектория движения точки пересечет себя в первый раз, траектория движения описывается следующей системой:
$\begin{equation} \begin{cases} x''-x'y+x^3=0\\ y'=1-x^2\end{cases} \end{equation}$.
Решить надо в системе Maple. Система не решается аналитически.

Я делаю следующее:
1) sol:= dsolve({diff(x(t),[t$2])-diff(x(t), t)*y(t)+x(t)^3, -diff(y(t),t)+1-x(t)^2, x(0)=1, y(0)=2, D(x)(0)=7},numeric,output=listprocedure);

2)xx:=eval(x(t),sol);
yy:=eval(y(t),sol);

3)Раз надо самопересечение, то существуют два момента времени, в которые значения $x(t)$ и $y(t)$, будут равняться, поэтому надо решить такую систему:
fsolve({xx(t1)=xx(t2), yy(t1)=yy(t2)},{ t1=0..10, t2=10..30});

Но почему-то СКА не решает это уравнение. Подскажите, пожалуйста, в чём проблема?

[Quasus]

Раз никто не пишет ничего умного, то напишу‐ка я какую‐нибудь ерунду. Серьёзного опыта использования maple для численных расчётов у меня нет, но интересно.

Мне кажется, fsolve вообще не умеет решать уравнения с процедурами — численными решениями дифуров.

В принципе, можно сделать следующим образом. Рисуя графики, отделяем моменты первого самопересечения: оно произойдёт при некоторых значениях времени в промежутках $(5,6)$ и $(11,12)$.

Пусть $\mathbf r(t)$ — наша кривая. Рассмотрим вектор‐функцию
$\mathbf R(t,s) = \mathbf r(t) - \mathbf r(s)$.
Нас интересует решение $(t_*, s_*)$уравнения
$\mathbf R(t,s) = 0,$
такое, что $t_* \in (5,6)$ и $s_* \in (11,12)$ (из соображений визуализации это решение существует и единственно). Наверняка его можно найти последовательными приближениями, которые определяются из уравнения
$\mathbf R(t_n, s_n) + \nabla \mathbf R \begin{pmatrix} t_{n+1} - t_n\\ s_{n+1}-s_n \end{pmatrix} = 0, $
где $\nabla \mathbf R$ — матрица Якоби (она считается).

Самому интересно, что в таких ситуациях делают знающие люди _Student, система интересная! Вы исследуете её?

[_Student]

Quasus, могли бы Вы пояснить, под $r(t)$ подразумевается $\left(\begin{array}{c} x(t) - x(s) \\ y(t) - y(s) \end{array}\right) ?$
Нет, я систему не исследую, просто надо решить.

[Quasus]

Точнее, это $\mathbf R(t,s)$, а $\mathbf r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ — сама кривая‐решение.

-- Чт дек 02, 2010 23:20:10 --

Там просто получается поведение, похожее на хаотическое. Думал, может, курсовая. :)

[_Student]

Не, это просто задание университетское.

А вот ещё вопрос, зависит ли первая точка самопересечения от начальных данных? И если зависит, то как найти эту зависимость?

[Quasus]

Хорошие вам задания дают! Не знаете, как нормальные люди определяют точки пересечения (если не считать ваш лобовой способ)?

Насчёт зависимости от начальных данных надо подумать. В невырожденном случае, видимо, гладко: если запихнуть их в уравнение,
$\mathbf R(t,s; x_0, y_0) = 0$
то по теореме о неявной функции $t$, $s$ гладко выражаются через начальные условия (локально, конечно).