Предел последовательности (подпоследовательности)

[sasha_vertreter]

Добрый день,
Я должен определить имеет лип предел последовательность:
$a_n=\frac{2n^9+(-1)^n(n!)}{5n^3+6n!}$.

Я разделил слагаемые. Первое стремится к 0, а во втором слагаемом $\frac{(-1)^n n!}{5n^3+6n!}$ две подпоследовательности, которые сходятся к $\frac{1}{6}$ для четных $n$ и к $-\frac{1}{6}$ для нечетных n.

Таким образом получается, что исходная последовательность $a_n$ не имеет предела.

Мой вопрос - есть ли в моем рассуждении ошибка -только да или нет, а дальше я сам.

Спасибо!

[paha]

правильно... только зачем на два слагаемых?

Ведь учат числитель и знаменатель делить на слагаемое, которое быстрей всего растет

[sasha_vertreter]

замечательно, а все-таки, так просто для интереса, является ли это тривиальным фактом, что сумма бесконечно малой и расходящейся последовательностей является расходящейся?

[paha]

да, тривиальным, по любому

[Someone]

Это следует из простейших свойств сходящихся последовательностей:
1) если последовательность $a_n$ сходится, $\lambda$ - любое число, то последовательность $\lambda a_n$ тоже сходится;
2) если последовательности $a_n$ и $b_n$ сходятся, то и последовательность $a_n+b_n$ сходится.

[sasha_vertreter]

все понял, спасибо!