Шатающаяся табуретка

[arseniiv]

(Кажется, эта задача не очень простая и сойдёт. )

У нас есть табурет с $n$ ножками, точки прикрепления которых к сиденью образуют (для начала) невыпуклый многоугольник. Пронумеруем эти ножки против часовой стрелки, когда табуретка обращена ими от нас. Ножки все отличаются по длине, так что можно составить последовательность $a_i$ их номеров по убыванию длины. Разницы в длинах ножек намного меньше их длины. Вопрос: сколько устойчивых положений есть у табуретки для каждой перестановки ножек (которые изоморфны последовательностям $a_i$), а так же если отождествить все табуретки с $n$ ножками?

-- Сб ноя 27, 2010 15:58:46 --

Кажется, моя постановка слишком расплывчата. Иногда нужно точные длины ножек знать, как бы это оформить тогда…

-- Сб ноя 27, 2010 16:27:33 --

Нет, лучше чтобы длины ножек вообще допускались любые неотрицательные. Тогда для самого простого случая $n = 3$ получим одно положение на все комбинации длин, а для $n = 4$ два: все ножки в одной плоскости и все ножки образуют невырожденный тетраэдр. Для пятиножечной таюуретки уже интереснее…

Лучше не будем нумеровать ножки, а то становится непонятно, как сложить все положения вместе.

[Dandan]

arseniiv в сообщении #381054 писал(а):

а для $n = 4$ два: все ножки в одной плоскости и все ножки образуют невырожденный тетраэдр.

О_О это как ?

[ИСН]

Очень просто: концы ножек или находятся в одной плоскости, или...

-- Сб, 2010-11-27, 17:02 --

А при следующих числах уместно задействовать систему обозначений конформаций циклоалканов. Для 5 будут так называемые "конверт" и "полукресло"...

[Yu_K]

Напомнило, ассоциативно. Маленький Федя подпилил все ножки у квадратного табурета и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табурет после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнем касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табурет, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек?

(Оффтоп)

Получить формулу для случая, когда ножки табурета являются ребрами четырехугольной пирамиды, т.е. не параллельны.

[arseniiv]

Это тут уже в какой-то теме было!

[neo66]

Yu_K в сообщении #385653 писал(а):

Какой длины может быть четвертый кусочек?

Либо $7$, либо $11$?

[Yu_K]

Правильно.

(Оффтоп)

А вот если ножки - ребра усеченной пирамиды - то надо еще вводить параметр, иначе не хватает данных.

[vvvv]

neo66 в сообщении #386228 писал(а):

Yu_K в сообщении #385653 писал(а):

Какой длины может быть четвертый кусочек?

Либо $7$, либо $11$?

Нет. Правильный ответ только 7. Если -11, табуретка будет устойчивой, но наклоненной т.е. не такой как до того как ей отпилили ножки

[ИСН]

Фигасе предъявы. (7,8,9,10) - хорошо, а (8,9,10,11) - плохо? Это же почти одно и то же.

[eLectric]

А с чего-бы это: "Оказалось, что длины всех кусочков различны..." Так можно сказать только найдя все кусочки.
Без этого условия получим 7 или 9 или 11

-- Ср дек 15, 2010 09:11:32 --

Цитата:

точки прикрепления которых к сиденью образуют (для начала) невыпуклый многоугольник

Может, для начала выпуклый и правильный?

[Батороев]

Если многоугольник невыпуклый, то задача нерешаема, ведь может так случиться, что устойчивое положение будет единственным. Например, когда три самые длинные ножки образуют треугольник, а остальные ножки находятся в пределах этого треугольника.
Если многоугольник правильный, то по-видимому, ответом будет: $(n-2)$.
Вот если многоугольник выпуклый и неправильный, то тут похоже, потребуется подумать.

-- 15 дек 2010 16:06 --

Скорее всего, я так и не понял условие задачи.

[vvvv]

Ребята! Давайте покончим с задачей в постановке Yu_K`a.
Здесь, действительно, подходит два ответа - 7 и 11. При втором ответе табуретка будет на 1 см. выше, чем при первом, но в постановке
задачи ничего о высоте табуретки не говорилось - значит оба ответа верны.

[Батороев]

У меня один вопрос остался: Каков был бы ответ(-ты), если дедушка нашел тогда другие три кусочка, например, $7,8,10$?

[neo66]

5,9 или 11.

[Yu_K]

vvvv
А случай непараллельных ножек еще никто не рассмотрел? Большинство табуреток ведь имеет ножки на гранях правильной четырехугольной пирамиды.