Вот почитал Гаусса. И честно говоря (ну может я тупой) не понял его доказательства по поводу следующей теоремы. Сам попробовал и вот что получилось. А может быть и у меня ошибка есть в рассуждениях? Вообще как то странно классики пишут. Вроде вещи простые, а ничерта непонятно. С Эйлером такие трудности. Достаточно странная трактовка переменных и постоянных количеств. Как вообще к этому подходить? Или эти книги стоит просто считать памятниками науки, а в качестве учебников они не годятся?
Теорема: Для любых целых числел a и A в ряду a, a+1,..., a+(m-1) найдестя одно и только одно число, которое является вычетом для числа A по модулю m.
Доказательство: 1) Существование. Если A=a, то a и будет искомым числом. Пусть теперь A не равно a. Если A>a, то тогда начнем уменьшать A, вычитая из него всякий раз по m, до тех пор, пока значение A-km (при некотором k), не станет меньше a, но A-(k-1)m все еще не меньше a. Такой результат может быть достигнут по аксиоме Архимеда. Теперь я утверждаю, что число A-(k-1)m совпадает с одним из чисел ряда, указанного в условии теоремы. В самом деле так как A-km<a, то a=<A-(k-1)m<a+m, но целое число, которое меньше a+m не может быть больше a+(m-1). Следовательно, наше число A-(k-1)m, являясь целым, совпадает с одним из чисел указанного ряда.
Если A<a, то тогда будем увеличивать A, всякий раз прибавляя по m, до тех пор пока A+km станет не меньше a, но A+(k-1)m все еще меньше a. Далее те же рассуждения, но только для числа A+km.
2) Единственность. Пусть в указанном ряду найдутся два числа (x1 и x2), являющиеся вычетом для числа A по модулю m. Пусть ради определенности x1<x2. Тогда так как все вычеты числа A по модулю m описываются формулой A+km, где k - любое целое, то тогда будем иметь x2-x1=m(k2-k1). Ясно, что k1<k2. Также ясно, что x2-x1<m. Отсюда получаем, что m(k2-k1)<m. Или k2-k1<1. Но этого быть не может, так как разность двух целых чисел, в котором вычитаемое больше уменьшаемого, не может быть меньше 1.
