Помогите, пожалуйста, доказать следующее утверждение. Пусть
![$C([0,1])$ $C([0,1])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/d/93dc5bcaa5b6e95bcd289a6fbeaa36aa82.png)
- банахово пространство непрерывных функций на отрезке, с нормой
![$\|x\|=\max_{t\in [0,1]} |x(t)|.$ $\|x\|=\max_{t\in [0,1]} |x(t)|.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/0/4203ec635e14e6f5964abd171203b18a82.png)
Утверждается, что отображение

квазидифференцируемо в тех и только тех точках

в которых максимум
![$\max_{t\in [0,1]} |x(t)|$ $\max_{t\in [0,1]} |x(t)|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/e/0fea33d9d29734d499531ed69809d24382.png)
достигается ровно в одной точке. Квазидифференцируемость нормы в точке

означает, что существует линейный непрерывный функционал

на
![$C([0,1]),$ $C([0,1]),$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/5/c450091aee3677d4984643aa50b4013a82.png)
такой что для произвольного отображения
![$g:[0,1]\rightarrow C([0,1]),$ $g:[0,1]\rightarrow C([0,1]),$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/d/4ad87b2238f9a680a286b575efae560f82.png)
равного

в нуле и дифференцируемого в нуле, функция

имеет в нуле производную, равную

Необходимость проверяется просто, а с достаточностью проблемы.