Дорешать предел.

[The Last Samurai]

Был предел $\lim_{x\to\infty}(x+2^x)^{1/x}$ после преобразований получилось (подогнал под второй замечательный)
\lim_{x\to\infty}$e^{{2^xln(2)ln(2)}/2}$ ответ 2,дальше ума не приложу как

[ИСН]

Преобразования в студию.

[AlexandreII]

У меня немного не так получилось. Вынесите за скобки $2^x$, там дальше хорошо получается. Ответ 2, как Вы и написали.

[The Last Samurai]

действительно,всего один шаг и все получается! я делал наоборот-выносил x, в итоге получившуюся конструкцию подгонял под второй замечательный.
${\lim_{x\to\infty}{(1+\frac {2^x} x })^{{ \frac x {2^x}} \frac{2^x} x \frac 1 x}=\lim_{x\to\infty}e^ \frac {2^x} {x^2}$ то,что вынесли имеет предел единица, а вот дальше с экспонентой неопределенность.Получается при решении таких примеров нужно щупать все ходы?

[ИСН]

Все не нужно, достаточно пощупать правильные.

[ewert]

The Last Samurai в сообщении #380620 писал(а):

Получается при решении таких примеров нужно щупать все ходы?

Лучше не щупать (щупать лучше что-нибудь другое), а думать. Тогда сразу становится очевидным, что показательная функция в скобках напрочь забьёт самого икса, и ответ, естественно -- двойка. Вопрос лишь в том, как это формализовать.

Вот получили Вы худо-бедно экспоненту (очень худо, но да ладно). Теперь Вы должны просто знать, что предел дроби в показателе равен нулю. А если не знаете, или если начальство обязывает Вас делать вид, что не знаете -- получите тот ноль по правилу Лопиталя.

[The Last Samurai]

то,что $2^x$ на бесконечности растет гораздо быстрее x это понятно,но почему сразу двойка? там же еще в степень $1/x$ надо возвести.А почему я очень худо пришел к экспоненте? разве там еще есть шаг,чтобы прийти к ней? показатель экспоненты я лопитировал два раза, в результате избавился от икса,но неопределенность $e^{\infty}$ осталась.

-- Пт ноя 26, 2010 16:56:53 --

а почему предел показателя экспоненты равен 0? $2^x$ растет быстрее на бесконечности чем $x^2$

[Gortaur]

1. откуда $x^2$? вы когда экспоненту делаете, скобку логарифмируете; там будет

$$ \frac{1}{x}(\log(x+2^x)). $$

2. что такое неопределенность $e^\infty$? это вполне определенность для действительных чисел.

[ewert]

The Last Samurai в сообщении #380770 писал(а):

а почему предел показателя экспоненты равен 0?

А потому, что Вы выносите, не приходя в сознание. Всем ежам понятно, что выражение $(1+\frac {2^x} x })^{{ \frac x {2^x}}$ вполне бессмысленно (в смысле практически бесполезно), поскольку ни одно из слагаемых не стремится к нулю.