Почему сбой?

[Xenia1996]

Любой квадрат натурального числа представим в виде разности двух первых степеней целых чисел.
Любой куб натурального числа представим в виде разности двух квадратов целых чисел. Только что сама доказала, лень писать...ну ладно, напишу вкратце. Любое нечётное натуральное число (а, стало быть, и его куб) представимо в виде разности двух последовательных квадратов целых чисел (уж это, я думаю, здесь доказывать не нужно). Если число чётно, то

$(n^3/4+1)^2-(n^3/4-1)^2=(n^3/4+1+n^3/4-1)(n^3/4+1-n^3/4+1)=(n^3/2)*2=n^3$


Тогда почему же не любую четвёртую степень натурального числа можно представить в виде разности двух кубов целых чисел (скажем, уравнение $x^3-y^3=81$ не имеет целочисленных решений)? Почему на четвертой степени произошел сбой?

А что если задачу обобщить?
Для каких натуральных n энная степень любого натурального числа представима в виде разности двух $n-1$ - ых степеней целых чисел?

[worm2]

Xenia1996 писал(а):

Любой куб натурального числа представим в виде разности двух квадратов целых чисел

Ну это нам, считайте, немножко повезло. В виде разности двух квадратов представляется 75% всех чисел (все нечётные и все, делящиеся на 4), "по случайности" все кубы имеют такую форму.
А разностей двух кубов на свете уже мало. И чем дальше, тем безнадёжнее.

[Xenia1996]

(Кстати, ...)

...задача о представлении куба как разности квадратов, Вы бы поверили, что она с Патнэма? Я сама не верила, но ссылка говорит сама за себя:

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn54.html
(Проблем там - би один).

Прикиньте, я - и вдруг Патнэм решила! Говорят, самому юному участнику за всю историю Патнэма было 14 лет (и то, почти 15), а мне 14 только в декабре двинет. Блин, я Патнэм решила! Надо за это стакан молока бухнуть