Неопределенные интегралы

[Артем Волков]

Здравствуйте. Помогите разобраться в таких примерах:
1. $\int \frac {\ (7+5x) dx} {\ 4^x} $
2. $\int \frac {\ (3x^2 - 4)dx} {\ (x+7) (x^2 - 2x +1)}$
Пробовал решить самостоятельно. В первом примере у меня получается: $\int \frac {\ (7+5x) dx} {\ 4^x} $ = $ (7x + 5 \frac {\ x^2} {\ 2}) \frac {\ 1} {\ 4^x} - \int (7x + 5 \frac {\ x^2} {\ 2}) \frac {\ ln 4} {\ 4^x} и дальше тупик. Во втором примере: $\int \frac {\ (3x^2 - 4)dx} {\ (x+7) (x^2 - 2x +1)}$ = $\int \frac {\ A} {\ (x+7)} + \frac {\ (Bx+C)} {\ (x^2 - 2x +1)}; $ A(x^2 - 2x +1) + (Bx+C)(x+7) = 3x^2 - 4, откуда A = \frac {\ 143} {\ 36}?
У меня есть серьезные подозрения, что я делаю что-то не так...

[Brukvalub]

В первом интеграле нужно заносить под дифференциал функцию $4^{ - x} $, во втором примере - неверное разложение на простейшие дроби, поскольку $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $.

[Артем Волков]

1. $\int \frac {\ (7+5x) dx} {\ 4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - 5\int \frac {\ dx} {\ ln 4*4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - \frac {\ 5} {\ ln 4} \int \frac {\ dx} {\ 4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - \frac {\ 5} {\ ln 4} * \frac {\ 1} {\ ln 4*4^x} $
2. $\int \frac {\ (3x^2 - 4)dx} {\ (x+7) (x^2 - 2x +1)} = \frac {\ A} {\ (x+7)} + \frac {\ B} {\ x-1} + \frac {\ C} {\ (x-1)^2}; 3x^2 - 4 = A(x-1)^2 + B(x+7) + C(x+7) (x-1), откуда A = \frac {\ 143} {\ 64} $
Во втором примере получилось то же самое, что и в первый раз. Хотя я, наверное, опять неправильно дробь разложил

[Артур0007]

Артем Волков писал(а):

1. $\int \frac {\ (7+5x) dx} {\ 4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - 5\int \frac {\ dx} {\ ln 4*4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - \frac {\ 5} {\ ln 4} \int \frac {\ dx} {\ 4^x} = \frac {\ 7+5x} {\ ln 4*4^x} - \frac {\ 5} {\ ln 4} * \frac {\ 1} {\ ln 4*4^x} $
2. $\int \frac {\ (3x^2 - 4)dx} {\ (x+7) (x^2 - 2x +1)} = \frac {\ A} {\ (x+7)} + \frac {\ B} {\ x-1} + \frac {\ C} {\ (x-1)^2}; 3x^2 - 4 = A(x-1)^2 + B(x+7) + C(x+7) (x-1), откуда A = \frac {\ 143} {\ 64} $
Во втором примере получилось то же самое, что и в первый раз. Хотя я, наверное, опять неправильно дробь разложил

1 вы забыли, что у вас не 4^x, а 4^(-x) для исправления умножьте первый член на -1.
2 Перепутали множители В и С.

[Артем Волков]

Цитата:

1 вы забыли, что у вас не 4^x, а 4^(-x) для исправления умножьте первый член на -1.

Я не совсем понял, что и зачем нужно умножать, объясните, пожалуйста

Цитата:

Перепутали множители В и С.

А что от этого изменится? У меня ощущение, что я значение А нашел неверно, а если поменять местами В и С, то оно от этого не изменится. Или я чего-то очень сильно недопонимаю

[Артур0007]

1 Первообраная от 4^(-x) есть -4^(-x)/in4, а не 4^(-x)/in4.
2 Вы уже поставили коэфф. над степенями 1/(х-1) и так далее, поэтому произвол утрачен. Должно быть так как я уже сказал.

[Артем Волков]

Честно пытался разобраться во втором примере... Но не понимаю я, как он решается! Кто может, объясните поподробнее, пожалуйста!

[RIP]

У меня получилось $A=\frac{143}{64},B=\frac{343}{64},C=-\frac18$.
Решение может быть примерно таким.
Надо получить тождество $3x^2-4=A(x-1)^2+B(x+7)(x-1)+C(x+7)$.
Подставляем $x=-7,x=1$ и, допустим, $x=0$. Выбор первых двух точек довольно очевиден, выбор последней довольно произволен.
З.Ы.Мог наврвть в вычислениях.

[Артем Волков]

У меня получилось примерно то же самое. Но в предыдущих постах писали, что я перепутал множители В и С. А я никак не соображу, что надо сделать

[Brukvalub]

Артем Волков писал(а):

У меня получилось примерно то же самое. Но в предыдущих постах писали, что я перепутал множители В и С. А я никак не соображу, что надо сделать

Как минимум, нужно научиться правильно приводить дроби к общему знаменателю. Вы писали:

Цитата:

$\frac {\ A} {\ (x+7)} + \frac {\ B} {\ x-1} + \frac {\ C} {\ (x-1)^2}; 3x^2 - 4 = A(x-1)^2 + B(x+7) + C(x+7) (x-1) $

А должно быть: $\frac {\ A} {\ (x+7)} + \frac {\ B} {\ x-1} + \frac {\ C} {\ (x-1)^2}; 3x^2 - 4 = A(x-1)^2 + C(x+7) + B(x+7) (x-1) $.
Ну, а дальнейшие шаги алгоритма Вы, похоже, знаете.

[Артем Волков]

Тогда получается:
$\int \frac {\ (3x^2 - 4)dx} {\ (x+7) (x^2 - 2x +1)} = \frac {\ 143} {\ 64} \int \frac {\ dx} {\ (x-1)^2} + \frac {\ 343} {\ 64} \int \frac {\ dx} {\ (x+7) (x-1)} - \frac {\ 1} {\ 8} \int \frac {\ dx} {\ x+7} $ и далее находим полученные интегралы?

[RIP]

Получается

$$\int\frac{(3x^2-4)\,dx}{(x+7)(x^2-2x+1)}=\frac{143}{64}\int\frac{dx}{x+7}+\frac{343}{64}\int\frac{dx}{x-1}-\frac18\int\frac{dx}{(x-1)^2}$$

[Артем Волков]

Большое спасибо. Помогите, пожалуйста, еще с одним примером:
$\int\frac {\ x^4-1} {x^3 + 4x} dx = \int (x - \frac {\ 4x^2-1} {\ x^3+4})- я правильно целую часть выделил?

[Brukvalub]

Неправильно.

[XpeH]

А куда делся x в знаменателе? И знак у единицы явно не тот)).