Миллиард прямых и слон

[Munin]

TOTAL
Я плохо геометрию в школе учил, напомните, пожалуйста, что такое большой треугольник?

[TOTAL]

Munin в сообщении #379832 писал(а):

TOTAL
Я плохо геометрию в школе учил, напомните, пожалуйста, что такое большой треугольник?

Тр-к называется большим, если любая прямая пересекает не более двух слонов, сидящих в вершинах тр-ка.

[ewert]

TOTAL в сообщении #379783 писал(а):

По индукции. Убираем одну прямую, помещаем (что можно по предположению) утроенного слона (в вершинах большого треугольника помещаем по доказываемому слону), проводим недостающую прямую, которая не может пересечь всех трёх слонов.

Не хватает слов. Ваша индукция доказывает не исходное утверждение, а формально более сильное. Но сказать об этом Вы стесняетесь, поэтому рассуждение и получается формально неверным.

TOTAL в сообщении #379824 писал(а):

Слон пошел по прямой, которая не параллельна ни одной из заданных прямых.И пришел туда, где заданными прямыми даже и не пахнет.

А вот это, видимо, действительно оптимальный вариант доказательства (в смысле намёк на него).

[worm2]

А ещё можно так. Представим себе круг диаметром $2^{\text{миллиард}}\cdot(\text{Диаметр слона})$. Первая прямая делит этот круг на 2 части, в одной из которых найдётся круг диаметром вдвое меньше, свободный от прямых. Вторая прямая делит оставшийся круг ещё на 2 части и т.д. После проведения миллиарда прямых получим круг диаметром, равным диаметру слона, свободный от прямых.

[Ales]

worm2 в сообщении #379895 писал(а):

А ещё можно так. Представим себе круг диаметром $2^{\text{миллиард}}\cdot(\text{Диаметр слона})$. Первая прямая делит этот круг на 2 части, в одной из которых найдётся круг диаметром вдвое меньше, свободный от прямых. Вторая прямая делит оставшийся круг ещё на 2 части и т.д. После проведения миллиарда прямых получим круг диаметром, равным диаметру слона, свободный от прямых.

Прекрасное решение красивой задачи.

[ИСН]

От таких фантазий как-то проникаешься масштабом бесконечности. Вот ведь: что угодно можно городить, а всё равно места хватит.

[ewert]

Ales в сообщении #379898 писал(а):

Прекрасное решение красивой задачи.

Симпатичное. Но мне последний вариант TOTAL понравился всё-таки больше (хотя это дело вкуса, конечно).

[Ales]

ewert в сообщении #380069 писал(а):

Ales в сообщении #379898 писал(а):

Прекрасное решение красивой задачи.

Симпатичное. Но мне последний вариант TOTAL понравился всё-таки больше (хотя это дело вкуса, конечно).

TOTAL в сообщении #379824 писал(а):

Слон пошел по прямой, которая не параллельна ни одной из заданных прямых.
И пришел туда, где заданными прямыми даже и не пахнет.

Мне тоже понравился.

[Dimoniada]

Возьмём точку O на плоскости, не лежащую ни на 1 из прямых. Сделаем инверсию произвольного радиуса с центром в этой точке, тогда все прямые перейдут в окружности (невырожденные), проходящие через эту точку, а слон превратится в "про-слона". Построим ограничивающую окр. с центром в O содержащую все наши окружности-прообразы прямых. Далее, про-слона и окр. инверсии гомотетией с центром в О "выгоним" из ограничивающей окр.(достаточно выгнать только про-слона, добиться не пересечения его с "прямыми") И, в конце-концов, делаем опять инверсию (относительно изменённой инверсной окружности) и получаем слона подобного данному, но большей площади, в нём уже располагаем исходного слона.

[Munin]

Вы уверены, что не изменили площадь слона? У меня впечатление, что вы его приблизили из начальной точки к точке O, а это может не дать решения.

[Dimoniada]

Наоборот, он удаляется от O и становится больше.

[Munin]

Это только до обратной инверсии.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #380366 писал(а):

Вы уверены, что не изменили площадь слона?

Оспариваеиого решения я не понял (в смысле лень), но однако же скромно замечу, что и возражение не вполне адекватно: дело не в площади Ленина слона, а в его диаметре.

[Munin]

Да, разумеется, о размере и речь. Кстати, решение поменялось. Теперь оно ещё хлеще: "получаем слона подобного данному, но большей площади, в нём уже располагаем исходного слона" - далеко не факт, что в подобном слоне можно разместить исходного.

-- 25.11.2010 18:58:22 --

Dimoniada в сообщении #380357 писал(а):

И, в конце-концов, делаем опять инверсию (относительно изменённой инверсной окружности)

Таким образом, у вас конфигурация прямых не возвращается к исходной.

-- 25.11.2010 19:08:35 --

"Выльем воду из чайника."

Выбросим из плоскости все полосы шириной в два диаметра слона, взятые вокруг каждой прямой. По свойству, указанному ewert-ом, post379339.html#p379339 , в плоскости останутся невыброшенные точки (полоса есть вырожденная парабола). Вокруг любой такой точки можно нарисовать слона.

[Dimoniada]

Munin в сообщении #380376 писал(а):

Да, разумеется, о размере и речь. Кстати, решение поменялось. Теперь оно ещё хлеще: "получаем слона подобного данному, но большей площади, в нём уже располагаем исходного слона" - далеко не факт, что в подобном слоне можно разместить исходного.

-- 25.11.2010 18:58:22 --

Dimoniada в сообщении #380357 писал(а):

И, в конце-концов, делаем опять инверсию (относительно изменённой инверсной окружности)

Таким образом, у вас конфигурация прямых не возвращается к исходной.

Да, внутри большего слона меньшего не всегда можно разместить... И со вторым замечанием я тоже согласна. Вместо слона можно рассматривать окружность диаметра $d$, как тут уже говорилось; тогда, вроде, первая проблема исчезает. Насчёт возврата конфигурации прямых - действительна, все прямые возвращаются не в исходное положение, а в гомотетичное положение с центром O и коэффициентом гомотетии $\gamma^2$ (где $\gamma$ - коэффициент гомотетии между инверсиями). Сам слон с его окружностью удаляется от O всего в $\gamma$ раз и увеличивает "свою" площадь в $\sqrt\gamma$ раз. Плохо получается =(