Вариация кривых

[Falex]

Пусть G = \left\{ {\varsigma = z_G (s):\alpha _G \le s \le \beta _G } \right\} \subset \mathop \limits^\_ ,\left( { - \infty \le \alpha _G < \beta _G \le \infty ,z_G ( \pm \infty ) = \infty } \right)$ -
- параметризованная кривая
Есть некое непонимание по следующим пунктам.
1)Как понять,что любая ее дуга является спрямляемой? (и геометрически как понять и символьно?)
2)Для любого ограниченного мн-ва $E \subset C,\;G \cap E \ne 0$ полный прообраз пересечения $G \cap E$
при отображении ${\varsigma = z_G (s)}$ имеет конечную внешнюю меру $\left| {G \cap E} \right|$ Лебега.
Кривая $G$--локальна спрямляемая кривая.
(опять же геометрически не понятно).
3)Следом $G$ назыв. мн-во,являющееся образом промежутка $[\alpha_G,\beta_G$ при отображении ${\varsigma = z_G (s)}$
(опять же геометрически не понятно).
4)Пусть $R(z)$--произвольная рациональная функция,полюсы которой не лежат на $G$.Тогда полное изменение
$R$ вдоль $G$ есть

$$Var(R,G) = \int_{\alpha _G }^{\beta _G } {\left| {R^/ (z_G (s))} \right|ds} $$

(опять же геометрически не понятно).

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Пусть G = \left\{ {\varsigma = z_G (s):\alpha _G \le s \le \beta _G } \right\} \subset \mathop \limits^\_ ,\left( { - \infty \le \alpha _G < \beta _G \le \infty ,z_G ( \pm \infty ) = \infty } \right)$ -
- параметризованная кривая
Есть некое непонимание по следующим пунктам.
1)Как понять,что любая ее дуга является спрямляемой? (и геометрически как понять и символьно?)

Геометрически это вряд ли увидеть, но есть стандартный критерий спрямляемости кривой: ее координатные функции должны являться функциями ограниченной вариации.

Цитата:

2)Для любого ограниченного мн-ва $E \subset C,\;G \cap E \ne 0$ полный прообраз пересечения $G \cap E$
при отображении ${\varsigma = z_G (s)}$ имеет конечную внешнюю меру $\left| {G \cap E} \right|$ Лебега.
Кривая $G$--локальна спрямляемая кривая.

Здесь у Вас путаница с мерами: сначала Вы пишите про внешнюю меру прообраза

Цитата:

полный прообраз пересечения $G \cap E$
при отображении ${\varsigma = z_G (s)}$ имеет конечную внешнюю меру

и сразу же вслед за этим используете обозначения для меры в образе :

Цитата:

$\left| {G \cap E} \right|$ Лебега.

Цитата:

3)Следом $G$ назыв. мн-во,являющееся образом промежутка $[\alpha_G,\beta_G$ при отображении ${\varsigma = z_G (s)}$
(опять же геометрически не понятно).

Это ровно то, что Вы увидите на комплексной плоскости, совершив отображение (так сказать, след карандаша на бумаге)

Цитата:

4)Пусть $R(z)$--произвольная рациональная функция,полюсы которой не лежат на $G$.Тогда полное изменение
$R$ вдоль $G$ есть

$$Var(R,G) = \int_{\alpha _G }^{\beta _G } {\left| {R^/ (z_G (s))} \right|ds} $$

(опять же геометрически не понятно).

А это -стандартная формула для подсчета вариации в аналитическом случае - она подсчитывает длину образа кривой при ее отображении на комплексную плоскость при помощи функции $R(z)$.

[Falex]

Ясно.А вот про спрямляемость не очень.А про дуги разбиения в спрямляемости не упоминается,т.е. что кривую можно предстваить на дуги,потом на меньшие дуги,причем их (общая) длина не изменяется.

Добавлено спустя 4 минуты 42 секунды:

Цитата:

она подсчитывает длину образа кривой при ее отображении на комплексную плоскость при помощи функции

А геометрически (на рисунке) как это представить?!

[Brukvalub]

Ну, представьте себе, что по образу кривой из его начала в конец едет маленький велосипедист со счетчиком длины пути на велосипеде. Тогда разность показаний счетчика между началом и концом пути и даст ответ. Или еще так: накладываем на образ кривой ниточку, в точности повторяя все изгибы и т.п., а затем выпрямляем ее и меряем линейкой длину выпрямленной ниточки. А, вообще-то, странные вопросы Вы задаете. Вот как Вы сами представляете себе геометрически длину окружности?
Многие понятия, используемые для изучения геометрических объектов, непросто представить себе геометрически. Например, попробуйте представить себе группы гомотопий какого-либо нетривиального многообразия.

[Falex]

Brukvalub дак значение R(z) может и не лежать на кривой.

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Brukvalub дак значение R(z) может и не лежать на кривой.

Я писал:

Цитата:

Ну, представьте себе, что по образу кривой...

Цитата:

накладываем на образ кривой...

[Falex]

Хочу продолжить тему.
Пусть

$$\psi \left( {G,z_1 ,z_2 } \right) = Var_G \,Arg\frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }}$$

.
($Var_G$ - вариация вдоль $G$)
Поясните:почему,если взять вместо $G$ окружность любого радиуса,то $\psi \left( {G} \right) = 2\pi$;
для дуги любого радиуса также $\psi \left( {G} \right) = 2\pi$.И чему будет равно $\psi \left( {G} \right)$ для
сектора (половина окружности+отрезок,соединяющий ее концы) или $\psi \left( {G} \right)$ для проивольного отрезка?

Буду рад любым рассуждениям.

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 56 секунд:

А,например,для эллипса [math]$\psi$[\math] будет зависеть от полюсов a,b?

[Brukvalub]

Без указания положения точек $ z_1 ,z_2 $ относительно кривой $G$ указанный Вами факт неверен, а в целом здесь нужно просто применить принцип аргумента.

[Falex]

Наверно,точки располагаются по-разные стороны относительно кривой.

Цитата:

а в целом здесь нужно просто применить принцип аргумента.

А что за принцип аргумента?

Добавлено спустя 6 минут 9 секунд:

Мне еще важно вот что понять: ведь мы ищем sup по всевозможным наборам ([url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Вариация_функции[/url]).Так на сколько кривая делится частей? (или это без разницы)

[Brukvalub]

Цитата:

А что за принцип аргумента?

-см. любой курс ТФКП- тема так и будет называться: Принцип аргумента (можно найти здесь: http://lib.mexmat.ru/books/643, здесь: http://lib.mexmat.ru/books/635, здесь: http://lib.mexmat.ru/books/632 , здесь: http://lib.mexmat.ru/books/1619и т.п..

Цитата:

Мне еще важно вот что понять: ведь мы ищем sup по всевозможным наборам ([url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Вариация_функции[/url]).Так на сколько кривая делится частей? (или это без разницы)

В определении вариации нужно рассматривать всевозможные разбиения кривой на конечное число кусков, при этом число кусков разбиения может быть сколь угодно большим, но конечным.

[Falex]

Так как теперь применить принцип аргумента к эллипсу и кругу?

[Brukvalub]

Изменение аргумента функции $ \frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }} $ при обходе точкой z замкнутой кривой G будет равно произведению 2пи на разность между числом нулей и числом полюсов этой функции в области, ограниченной кривой G. Ну, а где будут нули и полюса этой функции - зависит от положения точек $z_1, z_2 $ .

[Falex]

Так.А если кривая незамкнутая и представляется собой некий угол альфа или дугу конечного радиуса?

Добавлено спустя 21 минуту 46 секунд:

Точки располагаются по-разные стороны относительно кривой:$z_1$ лежит внутри кривой,$z_2$ снаружи.
Тогда число нулей равно 1,а число полюсов нуль.Так?
Тогда получается,что вариация равна $2\pi$.
Ну так для эллипса с такими же условиями на точки получается тоже $2\pi$ в не зависимости от полюсов a,b?

[Brukvalub]

Цитата:

Так.А если кривая незамкнутая и представляется собой некий угол альфа или дугу конечного радиуса?

- и в этом случае можно понять геометрический смысл Вашей функции.

Цитата:

Точки располагаются по-разные стороны относительно кривой:$z_1$ лежит внутри кривой,$z_2$ снаружи.
Тогда число нулей равно 1,а число полюсов нуль.Так?
Тогда получается,что вариация равна $2\pi$.
Ну так для эллипса с такими же условиями на точки получается тоже $2\pi$в не зависимости от полюсов a,b?

-Да.

[Falex]

Все-таки понятия вариации и "разность между числом нулем и полюсов" разные.Разность характеризует число полных оборотов функции
вокруг начала координат.Причем эта разность (т.е. приращение непрерывной ветви аргумента вдоль кривой G) может быть и нулевой.
А даже если функция не совершила ни одного оборота, то вариация не будет нулевой!
Вот например есть квадрат.Как подсчитать его вариацию (можно чисто геометрически,ведь это есть разница между максимальным углом между точками $z_1,z,z_2$ и минимальным+суммирование...)
квадрата???