Случайные величины

[awd]

Случайная величина $x$ удовлетворяет неравенству $-1\le x \le 1$, причём в интервале от -1 до 1 она распределена равномерно, а каждое из значений -1 и 1 принимает с вероятностью 0,25. Найти и построить функцию распределения и плотность вероятности случайной величины $x$. Найти вероятность того что $x$ окажется в интервале от 0,5 до 2.
Функция распределения будет такой:

В интервале от -1 до 1 функция распределения будет равна $F(x)=0.5x+0.5$
Плотность вероятности будет равна 0.5 в интервале $(-1;1)$ и содержать две дельта функции в точках -1 и 1.
$P(0.5\le x\le 2)=F(2)-F(0.5)=1-(0.5*0.5+0.5)=0.25$
Если посчитать вероятность, как интеграл от плотности вероятности, то:

$$P(0.5\le x\le 2)=\int_{0.5}^{2} 0.5+0.25\delta (x-1)dx=\int_{0.5}^{1} 0.5+0.25\delta (x-1)dx =0.5*0.5+0.25=0.5$$

В чём ошибка, почему вероятности не сходятся?

[Alexey1]

Функция распределения это неубывающая, непрерывная справа функция. Является ли она такой по графику который Вы привели?

[alisa-lebovski]

Функция распределения не такая.
В точках -1 и 1 она делает скачки, прирастая на соответствующие вероятности, а между ними растет линейно.

[awd]

Alexey1 в сообщении #379672 писал(а):

Функция распределения это неубывающая, непрерывная справа функция. Является ли она такой по графику который Вы привели?

Да, косяк.
Тогда если искать функцию распределения через плотность вероятности (она вроде найдена правильно), то:

$$\int_{-1}^{x} 0.5+0.25\delta (x+1)dx=0.5(x+1)+0.25=0.5x+0.75$$

и после x=0.5 функция распределения становится больше 1

alisa-lebovski в сообщении #379705 писал(а):

Функция распределения не такая. В точках -1 и 1 она делает скачки, прирастая на соответствующие вероятности, а между ними растет линейно.

Если так то получается что плотность вероятности будет равна 0.25 в интервале $(-1;1)$, и если воспользоваться свойством нормировки, то получится 0.75

[ИСН]

awd в сообщении #379710 писал(а):

плотность вероятности будет равна 0.25 в интервале $(-1;1)$,

Ну да, вот так. Что-то не нравится?

[PAV]

alisa-lebovski
обращаю внимание на то, что публикация готовых решений стандартных учебных задач является нарушением. Пожалуйста, ознакомьтесь с соответствующим разделом Правил форума.

-- Ср ноя 24, 2010 00:09:35 --

Интересно, кто дает такие задачи? У этого распределения нет плотности, оно не является абсолютно непрерывным.

[awd]

ИСН в сообщении #379713 писал(а):

Ну да, вот так. Что-то не нравится?

Тогда получается такая плотность:

И если воспользоваться свойством нормировки то получится 0.75

[ИСН]

Что такое свойство нормировки, и где получится 0.75?

[awd]

Свойство нормировки: $\int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x)dx=1$
В данном случае:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} 0.25\delta (x+1)+0.25+0.25\delta (x-1)dx=0.75$$

[ИСН]

Все Ваши неприятности из-за того, что отрезок от -1 до 1 имеет длину 2. Два. Не один, а два.

[awd]

Честно говоря не представляю как это мне может помочь
UPD: вопрос снят, ИСН спасибо за помощь