неравенство

[Marsel]

подскажите пожалуйста:
доказать, что
$\frac1{a^3*(b+c)}+\frac1{b^3*(a+c)}+\frac1{c^3*(a+b)}\ge\frac3{2}$

[Sasha2]

А какие условия по переменным $a, b, c$?

[caxap]

Оно неверное. Беря всё бОльшие $a,b,c$, можно сделать левую часть сколь угодно малой.

[Sasha2]

Да он просто забыл ограничения на $a, b, c$ указать.
Кстати, если предположить, что $abc=1$, то неравенство легко доказывается при помощи неравенства Коши-Шварца.

[Marsel]

ой, точно, совсем забыл, все они положительны и $a*b*c=1$
а в чем заключается это неравенство Коши-Шварца?

-- Пн ноя 22, 2010 00:17:32 --

точнее как оно применимо к этому неравенству?

[Sasha2]

Ну давайте потихонечку вот начнем с того, что, пользуясь условием превратим данное неравенство вот в такое равносильное:
$\frac{b^2c^2}{a(b+c)}+\frac{a^2c^2}{b(a+c)}+\frac{a^2b^2}{c(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
А теперь попробуйте вот сами применить неравенство Коши-Шварца вот в такой форме:
$\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3} \ge \frac{(x_1+x_2+x_3)^2}{y_1+y_2+y_3}$.
Дальше уже совершенно легко.

[Marsel]

у меня получилось$...\ge\frac{bc+ac+ab}2$ верно?

[Sasha2]

Нет ну напишите полностью.
Должно получиться вот такое неравенство: $ab+bc+ac \ge 3$, что верно по AM-GM.

[Marsel]

да, всё, получилось, спасибо=)

-- Пн ноя 22, 2010 01:14:22 --

а вот еще одно неравенство из той же серии:
найти все $\alpha$, при котором выполняется неравенство:
$\frac{a^\alpha}{b+c}+\frac{b^\alpha}{a+c}+\frac{c^\alpha}{a+b}\ge\frac3{2}$

[Sasha2]

Опять забываете условия на переменные a, b и c указывать.

[Marsel]

неравенство из той же серии, то есть удовлетворяют тем же условиям: $a,b,c$ положительны и $abc=1$

-- Пн ноя 22, 2010 01:22:08 --

$a,b,c$ - любые числа, удовлетворяющие этим условиям

-- Пн ноя 22, 2010 01:33:08 --

$\alpha$ - рациональное

[maxmatem]

Цитата:

Коши-Шварца

А многие говорят и пишут Коши-Буняковского, так как-то правильнее.

[Mathusic]

maxmatem в сообщении #378892 писал(а):

Цитата:

Коши-Шварца

А многие говорят и пишут Коши-Буняковского, так как-то правильнее.

Это в англоязычной лит-ре его так "неправильно" называют.

[Sasha2]

А вот в этом последнем неравенстве, пользуясь неравенством Чебышева можно показать, что оно справедливо для всех $\alpha$ больших $1$. Оно также справедливо и при $1$, так как это простой Несбит.
Далее подстановка $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$ показывает, что оно верно и для всех $\alpha$ меньших или равных $-2$. Но вот что происходит, когда $\alpha$ лежит внутри отрезка $[-2, 1] $непонятно.