обобщённая формула сокращенного умножения и делимость

[dnoskov]

Вот, значит, есть такое задание:

Используя обобщённую формулу сокращённого умножения:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})$, докажите, что:

$13^n+7\cdot 5^n \;\vdots\; 8$ (т.е. делится на 8)

- Ну что-ж,- думаю я,- дело нехитрое:

$13^n+7\cdot 5^n = 13^n - 5^n(-7)= \\ =(13-5(-7))\cdot (13^{n-1}\cdot (-7)^{-n}+ 13^{n-2}\cdot (-7)^{-n+1}\cdot 5 + 13^{n-3}\cdot (-7)^{-n+2}\cdot 5^2 + \ldots \\ \ldots + 13^2\cdot (-7)^{-2} \cdot 5^{n-3} + 13\cdot (-7)^{-1} \cdot 5^{n-2} + 5^{n-1}\cdot (-7)^0)$

Но вот гложит меня сомнение по поводу этой минуссемёрки. Скажите, правильно ли я решил? И если неправильно, то разъясните, пожалуйста суть применения формулы в подобных случаях.

[gris]

А -7 не возводится в степень $n$, вот беда. Но можно прибавить и вычесть $5^n$.

[maxmatem]

А лучше по биному разложить $13^{n}=(8+5)^{n}=....$
Так решение немного приятнее выглядеть будет

[dnoskov]

gris
Спасибо Вам!

maxmatem
Не в 8-м классе

[dnoskov]

И ещё один короткий вопросик.

Вот такой пример:

Применяя формулу:
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\ldots - ab^{2n-2}+b^{2n+1})$, доказать, что:

$85^n+45\cdot 3^n \;\vdots\; 22$

У меня есть два варианта:

• Эта вещь как-нибудь преобразуется к виду с нужными степенями (нечётными), и тогда должна решаться очень просто. Только я не пойму как она должна преобразоваться.
• Такое преобразование не требуется (или невозможно), и тогда в ответе нужно просто написать $n=2k+1, k\in \mathbb{N}$, тем более, что калькулирование показывает (можно попробовать для разных $n$), что это действительно так. (и что также означает ещё одну опечатку\неточность в задачнике)
• И третий вариант (нежизнеспособный): $85^n+45\cdot 3^n=17^n\cdot 5^n+5\cdot 3^{n+2}$, и дальше я не знаю как.

[Day]

$85 = 88 - 3$
$45 = 22*2 + 1$
$85^n=(88-3)^n = (-3)^n (mod (22))$
$45*3^n == 44*3^n + 3^n = 3^n (mod(22))$
$(-3)^n + 3^n = 0 $ при нечетных n и совершенно не делится на 22 при четных.

[dnoskov]

Day
Спасибо! Теперь я уверен.
Похоже, что математика будет вечным открытием. (раньше я таких трюков не видел)
Но одно мне не ясно, вот: $45*3^n == 44*3^n + 3^n$, что значит это $==$?

-- Вс ноя 21, 2010 14:32:27 --

Ой! простите, ради Бога! Сразу не заметил!

Вопрос снимается.

[arseniiv]

(Оффтоп)

dnoskov в сообщении #378424 писал(а):

что значит это $==$?

Оно значит свою неверную запись.

[ewert]

arseniiv в сообщении #378614 писал(а):

Оно значит свою неверную запись.

Оно означает сишное логическое отношение "равно", в отличие от сишного же оператора присваивания. Извращение, конечно.

[gris]

В некоторых языках знак "==" употребляется исключительно в условных конструкциях, либо для обозначения логической переменной. Однако там нет ни еслей, ни антилов, ни вайлов. И нет знака присваивания логической переменной.

[dnoskov]

Так же, иногда этот знак употребляется в случае, если пишущий случайно нажал одну и ту же кнопку два раза. Это случается у всех и, в основном, не вызывает затруднений. Я-же, недоперев, что $45*3^n=(44+1)*3^n=44*3^n+3^n$ , подумал, что, может быть такое обозначение применяется где-то кроме ЯП, и поэтому решил спросить, но потом допёр и снял вопрос. А человек хотел помочь и помог (как и многие здесь), за что ему и спасибо.

На этом тема мною, как грится, саспендед до возникновения новых вопросов.

[Day]

dnoskov в сообщении #378424 писал(а):

Day
Похоже, что математика будет вечным открытием. (раньше я таких трюков не видел)

Вообще-то это достаточно стандартный прием для задач на делимость - откусить то, что явно делится - остаток становится значительно проще для анализа

Цитата:

что значит это $==$?

Прошу прощения у почтенной публики. Все правы. Это и описка, и сишная привычка. Правда, есть еще одна причинка. Все время хотелось вместо равенства (2 черточки) написать "сравнимо" (3 черточки). А как это сделать, не знал. Вот в подкорке и проскользнуло....

ЗЫ. Учитываю такую огненную нетерпимость участников этого форума к опискам, впредь постараюсь быть внимательней.

[Sonic86]

Day писал(а):

Правда, есть еще одна причинка. Все время хотелось вместо равенства (2 черточки) написать "сравнимо" (3 черточки). А как это сделать, не знал. Вот в подкорке и проскользнуло....

это так: $\equiv$

[Day]

Sonic86 в сообщении #379029 писал(а):

это так: $\equiv$

Спасибо! "\equiv", значит