Непрерывные темпы (при)роста

[undeddy]

Доброго дня

Возник вопрос о выводе формул для непрерывных темпов роста/прироста некой переменной y(t) за единичный промежуток времени [t, t+1].

Формулы таковы: y(t+1) / y(t) - темп роста и ln( y(t+1)/y(t) ) - темп прироста.

[age]

Вообще-то темп прироста это $\dfrac{y_{t+1}-y_t}{y_t}\cdot100$%
С другой стороны, если темп роста (прироста) непрерывный, то предел:
$\lim\limits_{\Delta x\to0}{\dfrac{f(x+\Delta x)}{f(x)}}=1$ для (по-моему) любых функций. Не совсем пойму смысл.

[undeddy]

Наверное, все-таки так нельзя определять непрерывный темп роста.

Я имел в виду следующее. У вас в формуле скорее заложена идея моментного темпа роста. Но, если, к примеру, взять отрезок [t, t+10], то дискретный темп прироста определяется как $\dfrac{y_{t+10}-y_t}{y_t}$. Теперь, если предположить, что на этом отрезке задана гладкая функция y(t), то как определить непрерывный в этом случае темп ее прироста на данном отрезке? Не может же он совпадать со случаем, когда y(t) определена только на концах отрезка?

[age]

undeddy в сообщении #372940 писал(а):

еперь, если предположить, что на этом отрезке задана гладкая функция y(t), то как определить непрерывный в этом случае темп ее прироста на данном отрезке?

Т.е. грубо говоря, отношение $\dfrac{f(t+\Delta t)}{f(t)}$ с той лишь разницей, что не будет предела $\Delta t\not\to0$?
Тогда просто $\dfrac{f(t_n)}{f(t_0)}$. Непрерывность в данном случае вообще не имеет никакого значения, или я просто не пойму?
Если Вы хотите выразить отношение $\dfrac{f(t_n)}{f(t_0)}$ через функцию $g(t)$ для любых $t$, тогда я думаю индивидуально для каждой функции, в частности синус:
$g(t)=\dfrac{\sin(x_0+\Delta x)}{\sin x_0}$
где $x_0$ - базовое значение
$\Delta x$ - непрерывное изменение.
Тогда примерно так:
$g(t)=\dfrac{\sin(x_0+\Delta x)}{\sin x_0}=\dfrac{\sin x_0\cos \Delta x+\cos x_0\sin \Delta x}{\sin x_0}=\cos \Delta x+\cot x_0\sin \Delta x$

[age]

В данном случае $\cot x_0=K$ - константа

[Mikhail Sokolov]

Под непрерывным темпом роста возможно понималось решение $r$ уравнения $y(t)e^r=y(t+1)$.

[Mikhail Sokolov]

где $e^r$ получается из стандартных предположений, как предел $(1+r/n)^n$ при количестве подпериодов $n \to \infty$.