Разбиение на группы

[Xenia1996]

При скольких n набор чисел 1, ..., 3n можно разбить на n групп по три числа так, чтобы одно из чисел каждой группы было бы равно сумме двух других?

(попытка решения, просьба не подглядывать, пока не попробуете сами)

При n=1 разбиение тривиально: (1, 2, 3).

При n=4 у меня получилось вот что: (5, 7, 12), (3, 8, 11), (1, 9, 10)... обратите внимание, что остаётся (2, 4, 6). Но (2, 4, 6) - это и есть разбиение при n=1, только умноженное на 2.

При n=16 имеем (23, 25, 48), (21, 26, 47), (19, 27, 46), (17, 28, 45), (15, 29, 44), (13, 30, 43), (11, 31, 42), (9, 32, 41), (7, 33, 40), (5, 34, 39), (3, 35, 38), (1, 36, 37)...что остаётся? Остаются числа 2, 4, 6, ..., 24. Но это и есть 1, 2, 3, ...12, только умноженное на 2.

Сие натолкнуло меня на мысль об индукции:

При n=4^0 разбиение существует. Оно имеет форму (1, 2, ...,0.75n).
При n=4^{m+1} разбиваем следующим образом: (1.5n-1, 1.5n+1, 3n), (1.5n-3, 1.5n+2, 3n-1), ..., (1, 2.25n, 2.25n+1)... остаётся 2, 4, ...,1.5n, что есть 1, 2, ...,0.75n умноженное на 2.

Итог: у меня, вроде, в ответе на задачу вышло "при бесконечно многих n".

[Mitrofanich]

Помоему ты условие задачи не правильно поняла. Неможет быть при бесконечно многих n. Не как неполучается.