Касательное преобразование Лежандра

[PSP]

Кто-нибудь решал диф. уравнения с помощью касательного преобразования Лежандра? Пожалуйста, поделитесь опытом и дайте примеры!

[ГАЗ-67]

В "Математических методах классической механики" Арнольда вроде бы есть .
Дома поищу в литературе , если найду сообщу .
Если возможно , сообщите , что за уравнение .

[G^a]

Добречко!

Маленькие уточнения:

1) А какой класс уравнений интересует. Ибо есть особенности.
2) А чем вызвано желание применить именно этот метод? Спортивный/учебный интерес, или есть потребность увязать решение с геометрией минимальных поверхностей? Или что другое?

[ГАЗ-67]

Лежандра преобразование, частный случай прикосновения преобразований; имеет вид:
Х = у'(х), Y(X) = xy'(x) - y(x), Y'(X) = x. Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y'(X), y(x) = XY'(X)-Y(X), у'(х)=Х. Таким образом, Л. п. двойственно самому себе. Л. п. переводит дифференциальное уравнение первого порядка
F(x, y, y') = 0? (1)
в уравнение
F(Y', XY'-Y, x) = 0,? (2)
которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1). Л. п. употребляется также при рассмотрении дифференциальных уравнений гидродинамики. Л. п. получило своё название по имени А. Лежандра, впервые изучившего его (1789).

[G^a]

ГАЗ-67 писал(а):

которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1).

Никогда не встречал критериев облегчения интегрируемости уравнений при использовании преобразований Лежандра. Может кому попадались? Сам действовал в лоб - проверкой.

В основном также видел приложения и применял п.Л. для изучения структуры фазовых пространств ОДУ. А также в геометрии минимальных пространств для облегчения интегрируемости ЧПДУи изучения их структуры.

[Brukvalub]

В первом томе второго издания учебника В.А.Зорича " Математический анализ" (http://lib.mexmat.ru/books/11486) рассмотрено применение преобразования Лежандра функций нескольких переменных для упрощений дифференциальных уравнений классической динамики и приведения их к каноническому виду.

[V.V.]

Уравнение Клеро и его интегралы

Общее уравнение Клеро имеет вид

$$ F(\sum\limits_{i=1}^n x_ip_i-u,p_1,\dots,p_n)=0, \eqno (1) $$

где $F$~--- гладкая функция $(n+1)$-й переменной.
Преобразование Лежандра переводит это уравнение в уравнение

$$ F(u,x_1,\dots,x_n)=0, \eqno (2) $$

которое не содержит производных. Уравнение $(2)$ задает $n$-мерную поверхность в
$(n+1)$-мерном пространстве $J^0(\mathbb{R}^n)$, а соответствующее
дифференциальное уравнение первого порядка~--- это ее прообраз при проекции
$\pi_{1,0}:J^1(\mathbb{R}^n)\to J^0(\mathbb{R}^n)$.

Рассмотрим такую точку $(a_1,\dots,a_n,b)\in J^0(\mathbb{R}^n)$, что
$F(b,a_1,\dots,a_n)=0$. Тогда слой проекции
$\pi_{1,0}:J^1(\mathbb{R}^n)\to J^0(\mathbb{R}^n)$ над этой точкой является
обобщенным решением уравнения $(2)$.

Применяя преобразование Лежандра к этим обобщенным решениям, мы получим
$n$-параметрическое семейство обычных решений уравнения $(1)$, которое называется
полным интегралом уравнения Клеро.

С другой стороны, в окрестности неособой точки (т.е. там, где
$\frac{\partial F}{\partial u}\ne 0$) существует единственное решение уравнения
$(2)$,

$$ u=f(x_1,\dots,x_n), \eqno (3) $$

которое получается разрешением уравнения $(2)$ относительно $u$.

Выясним, во что переход это решение при преобразовании Лежандра. Для этого
заметим, что уравнение графика $1$-струи функции $(3)$ имеет вид

$$ \left\{ \begin{array}{l} p_1=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\dots,x_n),\\ \dots\\ p_n=\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1,\dots,x_n),\\ F(u,x_1,\dots,x_n)=0. \end{array} \right. \eqno (4) $$

При преобразовании Лежандра система $(4)$ преобразуется в систему

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=\frac{\partial f}{\partial x_1}(p_1,\dots,p_n),\\ \dots\\ x_n=\frac{\partial f}{\partial x_n}(p_1,\dots,p_n),\\ F(\sum\limits_{i=1}^n x_ip_i-u,p_1,\dots,p_n)=0, \end{array} \right. \eqno (5) $$

которая является совместной.

Выражая из первых $n$ уравнений $p_1$,~$\dots$, $p_n$ через переменные
$x_1$,~$\dots$, $x_n$, подставляя их в уравнение $(1)$ и выражая затем $u$ через
$x_1$,~$\dots$, $x_n$ в силу полученного соотношения, мы можем получить конечное
число решений исходного уравнения, которые называются особыми интегралами
уравнения Клеро.

Пример. Рассмотрим уравнение Клеро в двумя неизвестными

$$ x_1p_1+x_2p_2-u=\frac{p_1^3+p_2^3}{3}. \eqno (6) $$

Применяя преобразование Лежандра, получаем уравнение

$$ u=\frac{1}{3}(x_1^3+x_2^3), $$

при помощи которого легко найти полный интеграл исходного уравнения

$$ u=a_1x_1+a_2x_2-\frac{1}{3}(a_1^3+a_2^3),\qquad a_1,a_2=\const. $$

Для особых интегралов получаем совместную систему

$$ \left\{ \begin{array}{l} u=x_1p_1+x_2p_2-\frac{1}{3}(p_1^3+p_2^3),\\ x_1=p_1^2,\\ x_2=p_2^2.\\ \end{array} \right. \eqno (7) $$

Отсюда следует, что особые интегралы существуют лишь в квадрате $x_1\geqslant 0$,
$x_2\geqslant 0$ и имеют следующий вид:

$$ p_1=\alpha_1\sqrt{x_1},\quad p_2=\alpha_2\sqrt{x_2},\qquad u=\frac{2}{3}(\alpha_1x_1^{3/2}+\alpha_2x_2^{3/2}), \eqno (8) $$

где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ принимают независимо значения $+1$ или $-1$. Таким
образом, формулы $(8)$ определяют четыре специальных интеграла. Однако с
геометрической точки зрения имеется всего одно обобщенное решение, а именно~---
интегральная поверхность распределения Картана, задаваемая системой $(7)$. Это
поверхность четвертого порядка в $J^1(\mathbb{R}^2)$, которая проецируется на
координатную плоскость $(x_1,x_2)$ с особенностями, и поэтому имеет четыре ветви,
каждая из которых является графиком отображения для одной из гладких функций,
определяемых формулой $(8)$.

[PSP]

Вот здесь мне дали полезное разьяснение. Что скажут по этому поводу математики?