Гладкие не аналитические функции

[Padawan]

Просто. По теореме Морера.

[Ales]

Padawan в сообщении #377118 писал(а):

Просто. По теореме Морера.

Спасибо.

[Ales]

moscwicz в сообщении #377139 писал(а):

Док-во.

Здорово. Спасибо.

В промежутке между аналитическими и гладкими живут аналитические функции с существенными особенностями и лакунарные функции.
Какие еще звери там обитают? Или это неконструктивный вопрос?

-- Чт ноя 18, 2010 23:51:44 --

Стерли Доказательство?

[moscwicz]

Ладно, пока пусть висит так, потом подумаю, что делать с разлождением в произвольной точке.

moscwicz в сообщении #377073 писал(а):

$\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}+ikx}\in C^\infty(\mathbb{R})$ но не аналитичная ни в одной точке $\mathbb{R}$

Док-во.
Предположим, что эта функция аналитична для определенности в нуле. Тогда ее ряд Тейлора имеет вид

$$\sum_{j=0}^\infty\Big(\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}}\frac{(ik)^j}{j!}\Big)x^j\quad (*)$$

Эта формула с одной стороны получается формальной подстановкой в исходное выражение рядов Тейлора для экспонент $e^{ikx}$, и приведением подобных при $x^j$, а с другой стороны ее можно получить совершенно строго используя формулу $n-$го члена ряда Тейлора.


Подставим в (*) $x=-ih,\quad h>0$, получим сходящийся ряд из неотрицательных членов, значит эти члены можно перегруппировать и мы получим, что значение нашей аналитической функции в точке $-ih$ вычисляется подстановкой $x=-ih$ в ряд $\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}+ikx}$.
Очевидно ряд $\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}+kh}$ расходится. Противоречие.

[Ales]

moscwicz в сообщении #377156 писал(а):

Ладно, пока пусть висит так, потом подумаю, что делать с разлождением в произвольной точке.

Вполне возможно, что она в других точках аналитична, или что доказательство труднее:
график функции (действ. часть) в нуле имеет пик, а в других местах она гораздо глаже.

[Padawan]

Мне кажется удобнее рассмотреть аналитическую функцию $f(z)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\sqrt{k}}z^k$ и смотреть, какие точки на единичной окружности будут для неё особыми. Надо переразлагать степенной ряд в точке $z_1$, $0<|z_1|<1$, и смотреть, какой получается радиус сходимости.

-- Пт ноя 19, 2010 09:42:35 --

Ales в сообщении #377160 писал(а):

moscwicz в сообщении #377156 писал(а):

Ладно, пока пусть висит так, потом подумаю, что делать с разлождением в произвольной точке.

Вполне возможно, что она в других точках аналитична, или что доказательство труднее:
график функции (действ. часть) в нуле имеет пик, а в других местах она гораздо глаже.

Какой пик? Она же бесконечно дифференцируема.

[Ales]

Padawan в сообщении #377202 писал(а):

Какой пик? Она же бесконечно дифференцируема.

Если рассмотреть издалека график, то особенности - пик действительной части, скачок мнимой части, в нуле видны отчетливо. При приближении они конечно сглаживаются.

[moscwicz]

Рассмотрим пространство $C^\infty(-1,1)$ это, как известно, пространство Фреше.
Топология в нем задается полунормами
$p_{n,K}(u)=\sum_{k=0}^n\max_{x\in K}|u^{(k)}(x)|$, $K\subset (-1,1)$ -- компакт.

Покажем, что ножество функций аналитичных хотя бы в одной точке интервала $(-1,1)$ является множеством первой категории в $C^\infty(-1,1)$.

Введем обозначения $\mathbb{Q}\bigcap (-1,1)=\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}$,
Через $H_{jml}\subset C^\infty(-1,1),\quad j,m,l\in\mathbb{N}$ обозначим множество функций, коэффициенты разложения Тейлора $f_k$
которых в точке $x_j$ оцениваются следующим образом: $|f_k|\le l m^k$
Т.е. радиус сходимости ряда Тейлора не меньше чем $1/m$.

Легко проверить, что множества $H_{jml}$
замкнуты в $ C^\infty(-1,1)$, и , что множество функций аналитичных хотя бы в одной точке иентервала $(-1,1)$ содержится в объединении множеств $H_{jml}$.

Остается проверить что внутренность множеств $H_{jml}$ пуста. Действительно, пусть $u\in H_{jml}$.
Нужно для любого $\varepsilon>0$ и любых $n,K$ предъявить функцию $v\notin H_{jml}$ такую, что
$p_{n,K}(u-v)<\varepsilon$
Выберем $x'$ так, что $0<|x'-x_j|<1/m$.
Очевидно, достаточно взять $v(x)=u(x)+\sigma e^{-\frac{1}{(x'-x)^2}$ и подобрать малое $\sigma>0$ по $n,K,\varepsilon$.

[Padawan]

Вроде всё правильно

[moscwicz]

Да уж это легче чем доказывать неалитичность какой-либо конкретной функции

[Ales]

Получается что неаналитических функций до кучи,
но мы умеем строить примеры только в виде разных граничных значений аналитических функций.

[ИСН]

Большинство функций разрывны везде. Большинство непрерывных функций не дифференцируемы нигде. Большинство чисел иррациональны и даже трансцендентны.
Закон Старджона

[Ales]

Наверное неаналитические функции можно искать в виде сумм рядов Фурье.
Чтобы коэффициенты убывали быстро, но не слишком быстро.
Но ряд Фурье - это комплексный ряд Тейлора в круге единичного радиуса.

[Ales]

Множество, в котором периодическая функция не аналитична, замкнуто.
Можно посчитать его Хаусдорфову размерность.
Функции с ограниченной каким-то числом размерностью этого множества образуют кольцо.