Гладкие не аналитические функции

[Ales]

Как выглядят функции класса $C^{\infty}$, не разлагающиеся в ряды Лорана?
Есть ли какие нибудь примеры?

[ИСН]

Спецификация немного бессмысленна без указания, где...

[Ales]

Функции класса $C^{\infty}$ на $\mathbb R$ и не разлагались в ряд Лорана в нуле, в положительной окрестности.

-- Чт ноя 18, 2010 18:59:23 --

Я знаю пример гладкой не аналитической функции $e^{-\frac 1 {x^2}}$.
А есть ли что-то другого типа?

[ИСН]

Другого - это какого? Ваш пример - функция, у которой везде есть производные всех порядков. Чего же боле?

[Padawan]

Сумма ряда какого-нибудь дурацкого

[Ales]

ИСН в сообщении #377053 писал(а):

Другого - это какого? Ваш пример - функция, у которой везде есть производные всех порядков. Чего же боле?

Гладкая, но чтобы не было ряда Лорана.
Чтобы не было "аналитичности почти всюду".
То есть чтобы было "много" точек, где она не разлагается в ряд Тейлора.

[Padawan]

Лучше сказать так - гладкая, но чтобы не было аналитичности ни в одной точке.

[moscwicz]

$\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}+ikx}\in C^\infty(\mathbb{R})$ но не аналитичная ни в одной точке $\mathbb{R}$

[Ales]

moscwicz в сообщении #377073 писал(а):

$\sum_{k\in\mathbb{N}}e^{-\sqrt{k}+ikx}\in C^\infty(\mathbb{R})$ но не аналитичная ни в одной точке $\mathbb{R}$

Спасибо.

[Padawan]

moscvicz
Почему она аналитической не будет?
Я в общем знаю, как этот пример подправить можно, но мне придется сослаться на сравнительно мало известную теорему из ТФКП -- теорему Адамара о лакунах. Надо некоторые (многие) члены ряда выкинуть.
Может Вы более простыми рассуждениями руководствовались?

О, теорема Адамара в русской Википедии даже есть.

-- Чт ноя 18, 2010 22:54:40 --

Вот аналогичный пример, использующий ту же идею, но доказательство проще, он в книге Маркушевича А.И. Теория аналитических функций, том 1, на стр. 326-328 разобран.
Для аналитической функции

$$\varphi(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2^k}}{2^{k^2}}$$

единичная окружность является границей естественной области существования, т.е. она не может быть аналитически продолжена через эту окружность, и $\varphi(z)$ на $|z|=1$ является бесконечно дифференцируемой.
Заменяя $z$ на $e^{ix}$, получим функцию на прямой.

[Ales]

Еще надо доказать что нет аналитической функции, совпадающей на кусочке границы круга с этой лакунарной.
Или это известная теорема?

[Padawan]

Если бы она в некоторой точке окружности была аналитична, то через дугу-окрестность продолжалась бы за пределы круга.

[Ales]

Padawan в сообщении #377096 писал(а):

Если бы она в некоторой точке окружности была аналитична, то через дугу-окрестность продолжалась бы за пределы круга.

Нет ли ряда совпадающего с ней только на куске окружности, а в круге отличающегося от нее?
Все же граница - особые точки.

[Padawan]

Так не бывает. Принцип единственности. Если две аналитические функции совпадают на множестве, имеющем предельную точку в области, то они совпадают всюду в этой области.
А вроде понял о чём Вы. Но всё равно не бывает. Если по одну сторону кривой одна аналитическая функция, по другую - другая, а на кривой они непрерывно сшиты, то они друг в друга продолжаются через кривую.

[Ales]

Padawan в сообщении #377102 писал(а):

Так не бывает. Принцип единственности. Если две аналитические функции совпадают на множестве, имеющем предельную точку в области, то они совпадают всюду в этой области.

Но лакунарная функция не аналитична в точках границы.

-- Чт ноя 18, 2010 21:35:26 --

Понятно. Принцип непрерывности. А как его доказывают? Просто или нет?