помогите вычислить предел функции

[2718281828459045]

помогите,пожалуйста, вычислить предел:

$$\displaystile{ \lim_{x \rightarrow 0}} \left(\frac{4\arcsin^2x}{\arcsin^2(2x)} \right) ^{\frac{1}{x}}$$

Пробовал экспоненцировать, получилось следующее:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \exp(\frac{1}{x}\ln\frac{4\arcsin^2x}{\arcsin^2(2x)}) $$

Тут пользуемся теоремой о пределе суперпозиции, когда внешняя функция ($\exp(t)$) непрерывна, и вычисляем предел показателя. Получаем

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\ln\frac{4\arcsin^2x}{\arcsin^2(2x)}$$

Подскажите как вычислить последний предел без использования правила Лопиталя.

[ShMaxG]

В терминах о-малых, по формуле Тейлора, например. Но только вынесите квадрат как двойку за логарифм.

[2718281828459045]

его нужно вычислить без использования рядов Тейлора и правила Лопиталя. Можно пользоваться только следствиями второго замечательного предела.

[ShMaxG]

2718281828459045 в сообщении #376660 писал(а):

без использования рядов Тейлора

Ну про ряд Тейлора я ничего и не говорил...

А какие следствия нам доступны?

[Sasha2]

В таких случаях (когда доступны только вот те средства, о кооторых Вы говорите), смело добавляйте и вычитайте по 1 к основанию степени.
Ну и, конечно, придется напрячься вспомнив вот такую формулу из элементарной тригонометрии:
$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$.
Это частный случай более общей формулы, которую тут приводить не имеет смысла, поскольку данная формула справедлива при $x^2+y^2 \le 1$, а это и есть как раз Ваш случай.

[2718281828459045]

таким образом, получилось следующее:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2}{x}\ln \left(1 + \frac{2\arcsin x - \arcsin 2x}{arcsin 2x} \right )$$

а как применить формулу

Sasha2 в сообщении #376685 писал(а):

$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin (x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})$.

не понимаю, расскажите, пожалуйста, подробнее.

-- Ср ноя 17, 2010 21:31:47 --

ShMaxG в сообщении #376679 писал(а):

2718281828459045 в сообщении #376660 писал(а):

без использования рядов Тейлора

Ну про ряд Тейлора я ничего и не говорил...

А какие следствия нам доступны?

Вообще говоря, этот пример дается превокурсникам после изучения второго замечательного предела. А доступна им, например, таблица эквивалентных функций. При $x \rightarrow 0$, имеем:
$ \sin x \leftrightarrow x$
$\arcsin x \leftrightarrow x $
$\arctg x \leftrightarrow x$
$ \exp(x) - 1 \leftrightarrow x $
$\ln(1+x) \leftrightarrow x$
$(1+x)^{\alpha} -1 \leftrightarrow \alpha x$
P.S.
здесь $\leftrightarrow $ означает ~. не знаю как знак "~" поставить в математической моде...

[ShMaxG]

А, во, я придумал. Введем обозначение: $\[t = \frac{{2\arcsin x}} {{\arcsin 2x}} - 1\] $.

$ \[0 < \frac{1} {x}\ln \left( {1 + t} \right) < \frac{1} {x}t = \frac{1} {x}\left( {\frac{{2\arcsin x}} {{\arcsin 2x}} - 1} \right)\]$

$\[\begin{gathered} \frac{{2\arcsin x}} {{\arcsin 2x}} - 1 = \frac{{\arcsin \left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}} {{\arcsin 2x}} - 1 = \frac{{\arcsin \left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {1 - 4{x^2}} - 2x \cdot \sqrt {1 - 4{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right)} } \right)}} {{\arcsin 2x}} \sim \hfill \\ \sim \sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {1 - 4{x^2}} - \sqrt {1 - 4{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \]$
, при $\[x \to 0\]$.

Так понятно? Последовательно два раза воспользовались формулой разности арксинусов, которую предложил Sasha2. Остальное дорешайте сами.

[arseniiv]

(Оффтоп)

2718281828459045 в сообщении #376697 писал(а):

не знаю как знак "~" поставить в математической моде...

Моде? Вот, наведите указатель: $\sim$.

[2718281828459045]

Всем спасибо!

[Sasha2]

Мне все таки кажется, что предлагать такие примеры простым студентам (не математикам) до прохождения Тейлора или Лопиталя может только очень зверский преп.

[ShMaxG]

Задачка, по-видимому, на развитие силы мозга Приходится много думать. Но явно простая-учебная.