Математический текст на английском

[Falex]

Подмогите перевести некий текст с английского на русский:

in Meinardus the proof is for a general rational function P_n(x)/Q_m(x)
with Q_m(x) not=0 in the interval. you used the decomposition into rational
fractions assuming simple poles. I don't know whether such a thing always
exists and suspect "no" since the table of best approximations can degenerate
like the pade-table. but in any other respect to proof indeed deals with a
general rational function. there is even discussion of conditions for
second order convergence of the second Remez algorithm.[/u]

[vbn]

у Meinardus'а дано доказательство для общей рациональной функции $ \frac {P_n(x)} {Q_m(x)},$
где $Q_m(x) \ne 0.$ Вы использовали разложение на рациональные
дроби, имеющие простые полюса. Не знаю, всегда ли это
верно, но подозреваю что нет, поскольку таблица наилучших приближений может "ухудшиться",
как, например, в таблице Паде. Но в любом другом отношении к доказательству, действительно, имеет место случай
с общей рациональной функцией. Есть даже обсуждение условий для
сходимости второго порядка второго алгоритма Remez'а.

[Falex]

vbn спасибо.
А вот этот текст как перевести:
from meinardus (theorem 93 -> refers to chebyshev and de Valle'e-Poussin)
let V_{n,m} the set of rational functions of max numerator degree m and
max denominator degree n,
V_{n,m}(x)=P_n(x)/Q_m(x)
and Q_m(x) not= 0 in [-1,1] (w.l.o.g. [a,b]=[-1,1] )
and Q_m(x)=1+...... (normalized)

1. every continuous function f on [-1,1] has exactly one element of
best approximation (in the maxnorm sense) in V_{n,m}.

2. a function P_m(x)/Q_n(x) is a minimizing element for f if and only if
there exists an alternating sequence of lenght
l= m+n+1-d if P_m not identical zero and l=m+1 otherwise
where d=min(m-m1,n-n1) and
P_m1(x)/ Q_n1(x) is the factor free form of P_m/Q_n

3. if one takes any element
\tilde P_n(x) / \tilde q_m(x)
of V_{m,n} and computes l as before, and there
is an alternating sequence
-1 <= xi_1 < ... < xi_{l+1} <=1
with
(f(xi_s)- \tilde P_m1(xi_s)/\tilde Q_n1(xi_s) not=0 s=1,...,l+1
and
sign(f(xi_s)- \tilde P_m1(xi_s)/\tilde Q_n1(xi_s)) = -
sign(f(xi_{s+1})- \tilde P_m1(xi_{s+1})/\tilde Q_n1(xi_{s+1})
s=1,..,l
then
E_{n,m}(f) >= min_{s=1,..,l+1} abs(f(xi_s)- \tilde P_m1(xi_s)/\tilde Q_n1(xi_s))

(lower bound on the error of best approxiamtion) ///
(hence anything is completely analogous to the polynomial case with the exception
that one does not know the length of the alternating sequence beforehand, because
the rational function of best approximation might be reducible.