Задание с логическими высказываниями

[krokha]

Дано следующее высказывание, являющееся составным высказыванием:
"Джон и Джеймс взобрались на холм".
Задание: найти составные компоненты этого высказывания.

Придумывается выделение следующих компонент $p$ и $q$ (простых высказываний):
$p=$ 'Джон взобрался на холм' и $q=$ 'Джеймс взобрался на холм'.


Но ведь высказывания "Джон взобрался на холм и Джеймс взобрался на холм" и "Джон и Джеймс взобрались на холм" - одинаковы по смыслу, но не одинаковы по написанию, а при формальном взгляде на высказывания мы можем в смысл вообще не вникать (а тут, получается, в смысл вникать необходимо?).

...ведь нельзя же разбить так: 'Джон', 'Джеймс', 'взобрались на холм' ?...

[Xenia]

А можно ли решить проблему таким образом: когда мы говорим --- "Джон и Джеймс взобрались на холм", то подразумеваем "Джон взобрался на холм, и Джеймс взобрался на холм", просто наш родной язык в целях экономии сокращает предложение до конструкции "однородные члены предложения"? И вникать в смысл предложения не нужно, просто слегка "разархивировать" однородные члены предложения?

[BapuK]

krokha в сообщении #375704 писал(а):

...ведь нельзя же разбить так: 'Джон', 'Джеймс', 'взобрались на холм' ?...

нельзя, потому что это не высказывания, т.к. высказывание - это предложение о котором можно сказать истинно оно или ложно.

[arseniiv]

krokha в сообщении #375704 писал(а):

а при формальном взгляде на высказывания мы можем в смысл вообще не вникать (а тут, получается, в смысл вникать необходимо?)

С чего ж вы взяли, что русский (да и другие естественные языки) — формальный язык? Довольно частые переносы значений с одних слов на другие делают его вообще не пригодным для формальной обработки. (Я уж не говорю о других уровнях языка.)

А зато если у нас есть предикат $P$ «взобрался на гору», мы не сможем записать $P(\text{Джон } \wedge \text{ Джеймс})$ (сможем, но это не будет чем-то осмысленным), а только $P(\text{Джон}) \wedge P(\text{Джеймс})$. Думается, математическую логику не зря изобрели когда-то давно.

[krokha]

А почему естественные языки не являются формальными?
(по-Вашему, из-за наличия синонимии и онтонимии?)

Не понимаю как из определении "формальный язык — это множество конечных слов над конечным алфавитом" следует что имеем дело со значениями. Можно просто рассматривать запись на данном естественном языке как множество слов над конечным алфавитом (это же все выполняется?).

А почему в Ваших обозначениях нельзя $P(\text{Джон} \wedge \text{Джеймс})$?

[arseniiv]

krokha в сообщении #376443 писал(а):

Можно просто рассматривать запись на данном естественном языке как множество слов над конечным алфавитом (это же все выполняется?).

Не совсем. Это письменность как-то «оформализовывает» язык. Кроме того, в естественных языках можно построить такие конструкции, которые не будут нести смысла, или же будут нести смысл для одних и не нести его для других, или же не являться высказываниями (например, вопросы или приказы, просьбы). Синонимия и омонимия (антонимия тут не в тему) сами по себе тоже бы нарушают формальность, потому что это в математике всегда ясно, модуль или определитель и почему мощность множества обозначили так или эдак (вообще, обычно каждый автор или статья придерживается «любимых» обозначений и не мешает $\mathcal P(X)$ с $2^X$), а в естественных языках полно исключений. Можно наговорить ещё кучу всего, но думается, что логично понимать, почему формальные конструкции и то, что сложилось стихийно, смешивать в одну кучу не стоит. Вы бы ещё сравнили формальную логику и русский язык с языком Java.

krokha в сообщении #376443 писал(а):

А почему в Ваших обозначениях нельзя $P(\text{Джон} \wedge \text{Джеймс})$?

Потому что это не будет являться правильно построенной формулой алгебры предикатов, а следовательно, нет способа определить значение этой формулы и прочие полезные вещи.

[krokha]

Цитата:

А почему в Ваших обозначениях нельзя $P(\text{Джон} \wedge \text{Джеймс})$?

Именно, потому что логическиие связки стоят обязательно между предикатами?

[arseniiv]

krokha в сообщении #376568 писал(а):

Именно, потому что логическиие связки стоят обязательно между предикатами?

Да. Между аргументами предикатов — термами — они стоять не могут. Термы могут быть как переменными или константами (не логическими), так и функциями (тоже не логическими) от других термов.

[krokha]

То есть, 'Джон' и 'Джеймс' - это термы, но не предикаты. Предикаты - это высказывания, то есть должна существовать возможность оценки истинности.
'Джон поднялся на гору' и 'Джеймс поднялся на гору' - это аргументы двух предикатов, обозначим их $p$ и $q$. Логические связки, связывающие два предиката могут стоять только между ними (предикатами).


Всё ли я правильно понял?
Или предикат именно (как Вы писали) «взобрался на гору»?

[Joker_vD]

krokha в сообщении #376611 писал(а):

Предикаты - это высказывания, то есть должна существовать возможность оценки истинности.'Джон поднялся на гору' и 'Джеймс поднялся на гору' - это аргументы двух предикатов, обозначим их и . Логические связки, связывающие два предиката могут стоять только между ними (предикатами).Всё ли я правильно понял?

Все не так.

$P(x) =$ "$x$ взобрался на гору" — предикат.
$P(\mbox{Джон}) =$ "Джон взобрался на гору" — высказывание.
$P(\mbox{Джеймс}) =$ "Джеймс взобрался на гору" — высказывание.
$P(\mbox{Джон}) \wedge P(\mbox{Джеймс}) =$ "Джон взобрался на гору и Джеймс взобрался на гору" или, что то же самое, "Джон и Джеймс взобрались на гору" — высказывание.
$P(x) \wedge P(y) = $ "$x$ и $y$ взобрались на гору" — предикат.
$P(\mbox{Джон}) \wedge P(y) = $ "Джон и $y$ взобрались на гору" — предикат.
$P(x) \wedge P(\mbox{Джеймс}) = $ "$x$ и Джеймс взобрались на гору" — предикат.

[krokha]

Все проясняется! Спасибо большое!