Я неправильно выразился. Конечных множеств, все элементы которых конечны и все элементы их элементов, и т. д. конечны тоже.
Это называется "наследственно конечные множества". Доказать, что их счётное число, безусловно, можно.
-- Вс ноя 14, 2010 11:54:49 --Xaositect опередил с термином
Доказывать, наверное, лучше не через деревья, а индукцией по ординальному рангу, который для любого наследственно конечного множества является натуральным числом.
-- Вс ноя 14, 2010 12:00:53 --То есть... Для любого ординала

определим

индукцией по индексу:



,

предельный.
Аксиому регулярности можно переформулировать следующим образом: для любого множества

найдётся ординал

, такой что

. Наследственно конечные множества --- это, в точности, множества из

.
-- Вс ноя 14, 2010 12:07:49 --Кодирование наследственно конечных множеств натуральными числами можно найти
здесь.