ДУ, сводящееся к однородному

[Dext]

Помогите разобраться.

Надо решить уравнение $y'=\sqrt{y-x}+x$.

Подставкой $y=z^2+x$ привожу его к обобщённо однородному

$2zz'+1=z+x$ или $2z\,dz-(x+z-1)\,dx=0$.

Далее стандартные методы и подстановки.

В результате получил $(x+2z-1)(x-z-1)^2=C_1$ (конечно, если нигде не ошибся).

Как теперь правильно перейти к исходной переменной $y$?

Из $y=z^2+x$ следует, что $z=\pm\sqrt{y-x}$.

Так и написать $(x\pm2\sqrt{y-x}-1)(x\mp\sqrt{y-x}-1)^2=C_1$??

[Alexey1]

У Вас там должно после подстановки получиться $\sqrt{z^2}=|z|$

[Dext]

Alexey1 в сообщении #376198 писал(а):

У Вас там должно после подстановки получиться $\sqrt{z^2}=|z|$

А если её так сделать \[z=\sqrt{y-x}~\Rightarrow~z'=\frac{y'-1}{2\sqrt{y-x}}=\frac{y'-1}{2z}~\Rightarrow~y'=2zz'+1\[

Вроде, то же самое, но тогда |z| не получается.

Что-то не догоняю

-- Вт ноя 16, 2010 22:00:39 --

Наверное, правильный ответ такой

$(x+2\sqrt{y-x}-1)(x-\sqrt{y-x}-1)^2=C_1$??

[Alexey1]

Решите сначала уравнение для $z>0$.

[Dext]

Извините, ну не понимаю я, почему надо решать сначала для z>0 ??

Скажите хотя бы, какой правильный ответ.

[Alexey1]

Я не решал уравнения. Просто у Вас там появляется $|z|$. Чтобы от этого избавиться решите уравнение сначала для $z>0$. Потом и при обратной подстановке будет понятно какой знак выбирать.

[Dext]

Откуда модуль??

\[z=\sqrt{y-x}~\Rightarrow~z'=\frac{y'-1}{2\sqrt{y-x}}=\frac{y'-1}{2z}~\Rightarrow~y'=2zz'+1\[

Или что в этой подстановке не так?

[Alexey1]

Я отвечал на Ваше первое сообщение, так как там Вы уже получили ответ, неявно подразумевая, что $z>0$. Что касается новой подстановки, которую Вы предлагаете, то попробуйте решить с ней.