представление чисел суммой двух квадратов (кубов)

[Sasha2]

Если у нас есть два целых чисел, то можно ли утверждать, что найдутся еще два других целых числа, сумма квадратов которых равна сумме квадратов двух первых (то же и для кубов)?

[Genrih]

Ответ -- да.
Знакомая задача. Встречалась здесь

[Sasha2]

Ну там по моему тривильный случай, когда одно из чисел равно 0

Ну вообще честно говоря меня не это интересует, а вот, что если у нас есть правил, которое, например, каждым квадратам двух последовательных целых чисел ставит в соответствие квадрат следующего целого числа. То:
1) Можно ли считать, что таким образом задана функция?
2) Аналогичный вопрос про кубы.

3) Ну и более глубоко, можно ли при таком определении эту функцию распространить на всю область действительных чисел (хотя бы на область положительных чисел)

[ИСН]

Нет. Смотря какая сумма квадратов. Это число может представляться суммой квадратов единственным образом - 5=1^2+2^2, больше никак, хоть за локоть себя укуси - а может не единственным: 65=1^2+8^2=4^2+7^2.
Upd. Из последнего вообще ничего не понял. Какое правило? кто кому в соответствие?

[Sasha2]

Я это вопрос, уважаемый ИСН, поэтому и задавал для того, чтобы устранить неоднозначность.

А функция определяется следующим образом берем два целых последовательных числа, например 1 и 2, находим их сумму квадратов - она равна 5, квадрат следующего целого числа равен 9. Значи 5 ставим в соответствие 9. И так далее. Ну а дальше все вопросы остаются. Заранее прощу прощения за возможную некорректность в постановке задачи. Надеюсь более образованные товарищи поправят.

[Genrih]

Sasha2 писал(а):

А функция определяется следующим образом берем два целых последовательных числа, например 1 и 2, находим их сумму квадратов - она равна 5, квадрат следующего целого числа равен 9. Значи 5 ставим в соответствие 9

$f((k-1)^2+k^2)=(k+1)^2$

Так ? Тогда не знаю, как ее продолжить на действительную ось, если не взять определенный сдвиг.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Если у нас есть два целых чисел, то можно ли утверждать, что найдутся еще два других целых числа

ИСН

А куда $-1$ и $-2$ делись?

[ИСН]

2 Capella Ой, ладно... Ну да, если так, тогда конечно.
2 Sasha2: я по-прежнему не понимаю, чем может быть интересна такая функция. И в любом случае, прежде чем обобщать на действительные, неплохо было бы обобщить хотя бы на все целые (пока что она определена только на некоторых целых числах).

[Sasha2]

Правильно, уважаемый ИСН, вот тут я честно говоря, пример привел не совсем корректный.

Просто хотел пообсуждать определение функции. А именно, можно ли найти эквивалент высказывания: каждому объекту ставится в соотвествие один и только один объект. Ну то есть развить мысль если каждым двум (но только таким, что их определеннная комбинация ЕДИНСТВЕННА) ставится все также один и только один объект.

P.S. Функция эта ничем неинтересна, просто понять хочется.

[ИСН]

Ну а вопрос в чём? Вот Вы поставили числу 5 в соответствие число 9. А числам 2, 3, 4, 6, 7... - ничего не поставили. Функция? Да, функция. Ну и что?

[Genrih]

ИСН писал(а):

И в любом случае, прежде чем обобщать на действительные, неплохо было бы обобщить хотя бы на все целые (пока что она определена только на некоторых целых числах).

Да, еще здесь проблема.

[Sasha2]

Ну Вы меня все просто разгромили.
Признаю был неправ, хотя, конечно, понимал, что такие вопросы с кондачка не решаются.

P.S. А все же возможно ли дать определение функции как правило, ставящее двум (или более) обектам из определенного множества один объект из другого множества? Ну в смысле, чтобы оно не противоречило классике.

[Capella]

Sasha2

В теории функций есть такии понятия как иньективный, сурьективный и биективный (иньективный + сурьективный). И что значит " как правило"? Есть например такая функция: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}:f(x) = x^2$, которая ставит двум объектам из одного множества (в данном случае значений аргумента) один объект из другого множества (собственно значение функции).

[Руст]

Сумму квадратов можно воспринимать как норму комплексного числа, для целочисленных это норма гауссова числа. Так как норма произведения равна произведению норм, для гауссовых чисел это приводит к вопросу однозначности разложения. Это действительно имеет место. Надо иметь в виду, что для простых чисел вида 1(mod 4) представление единственное с точностью до умножения на +-1, +-i и комплексного сопряжения. Если число, является произведением нескольких таких простых чисел переход к комплексному сопряжению только в одном множителе не выражается анологичной операцией для всего произведения, поэтому появляется неоднозначность.