Произведение делителей числа

[Xenia1996]

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных делителей (включая единицу и само число) числа $N=2*25*3^{22}*7^{28}$ ?

У меня ответ не сходится: правильный ответ 2000, а у меня выходит 2001.

Я рассуждала так:
Число в условии задачи имеет 2*3*23*29=4002 делителя. Разбив их на пары (a, N/a), получаем 2001 пару, произведение чисел в каждой из которых равно N, которое делится на 10, но не на 100, значит, нулей будет ровно 2001.
Не пойму, в чём ошиблась

[EtCetera]

Вроде бы, ни в чем не ошиблись. Пусть у нас есть некоторое натуральное число $a$ и мы знаем его разложение на простые делители: $a=\prod\limits_{k=1}^n p_k^{\alpha_k}$, где $p_k$ $\text{---}$ $k$-ое простое число. Тогда любое $d|a$ представимо в виде $d=\prod\limits_{k=1}^n p_k^{\delta_k}$, где $0\le\delta_k\le\alpha_k$ ($1\le k\le n$), причем каждому делителю соответствует уникальный кортеж $\overline{\delta_0\delta_1\dots\delta_{n-1}\delta_n}$. Требуется найти максимальное $\gamma$, такое, что $P\equiv 0\mod b^{\gamma}$, где $P=\prod\limits_{d|a}d$ $\text{---}$ произведение всех делителей числа $a$, $b=\prod\limits_{k=1}^n p_k^{\beta_k}$ $\text{---}$ некоторое число.
Представим $P$ в виде $P=\prod\limits_{k=1}^n p_k^{\rho_k}$ и найдем $\rho_k$. Пусть $R=\prod\limits_{k=1}^n (\alpha_k+1)$, тогда
$\rho_k=\dfrac{\dfrac{\alpha_k(\alpha_k+1)}{2}R}{\alpha_k+1}=\dfrac{\alpha_k R}{2}$
Тогда
$\gamma=\min\limits_{1\le k\le n\atop \alpha_k,\beta_k\ne 0}\dfrac{\rho_k}{\beta_k}$
(если же для к-н $k$ $\beta_k\not|\rho_k$, то решений нет). В случае, когда все ненулевые $\beta_k$ равны 1 (как в этой задаче), получаем просто
$\gamma=\min\limits_{1\le k\le n\atop \alpha_k,\beta_k\ne 0}\rho_k=\dfrac{R}{2}\min\limits_{1\le k\le n\atop \alpha_k,\beta_k\ne 0}\alpha_k$.
В данном случае:
$a=\overline{1\ 22\ 2\ 28}$
$b=\overline{1\ 1\ 0\ 0}$
$\min\limits_{1\le k\le 4\atop \alpha_k,\beta_k\ne 0}\alpha_k=1$
$R=(1+1)(22+1)(2+1)(28+1)=2\cdot 23\cdot 3\cdot 29=4002$
$\gamma=\dfrac{4002}{2}\cdot 1=2001$.

[venco]

Возможно, ошибка в формулировке задачи. Если заменить слово "включая" словом "исключая", то ответ 2000 станет правильным.

[bot]

Произведение всех делителей числа $N$ можно посчитать проще:
Занумеруем, например по возрастанию все делители $d_1, \dots d_k,\ k={\tau (N)$ и положим $d'_i=\frac{N}{d_i}$. Тогда $d'_1, \dots d'_k$ - тоже все делители. Перемножим равенства $N=d_id'_i$, извлечём корень и получим
$\prod\limits_{d|N}d=N^{\frac{\tau (N)}{2}}$.

$\tau(2\cdot25\cdot3^{22}\cdot7^{28})=(1+1)\cdot(2+1)\cdot(22+1)\cdot(28+1)=4002$

[Xenia1996]

А есть у Вас настроение данную задачу обобщить?
Например, так:

Для скольких целых неотрицательных n не существует такого натурального числа N, что произведение всех делителей N оканчивается ровно на n нулей?

Думаю, что ответ будет 1, ибо произведение всех делителей 10 оканчивается на 2 нуля, 20 - на 3, 40 - на 4, 80 - на 5, ...
Произведение всех делителей единички оканчивается на 0 нулей.
А вот ровно на 1 ноль - никак не выходит (полагаю, что если произведение всех делителей делится на 10, то среди делителей обязаны присутствовать 2, 5 и 10, а следовательно, менее двух нулей не будет).