Ряд. Арктангенс

[Vvp_57]

Докажите, что:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \arctan \frac{ 9\left(16k^2+1 \right)}{2\left(16k^3-7k \right)^2}=\frac{\pi }{4}$

[maxal]

Ввиду того, что

$$\arctan \frac{ 9\left(16k^2+1 \right)}{2\left(16k^3-7k \right)^2} = \arctan \frac{(4k+1)(4k+2)(4k+3)}6 - \arctan \frac{(4(k-1)+1)(4(k-1)+2)(4(k-1)+3)}6$$

частичные суммы телескопически сворачиваются:

$$\sum_{k=1}^n \arctan \frac{ 9\left(16k^2+1 \right)}{2\left(16k^3-7k \right)^2} = \arctan \frac{(4n+1)(4n+2)(4n+3)}6 - \frac{\pi}{4}.$$

При $n\to\infty$ получаем соответственно:

$$\arctan \infty - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}2 - \frac{\pi}4 = \frac{\pi}4.$$

[Vvp_57]

Просто слов нет, спасибо maxal! Так и думал, что Вы решите эту трудную задачу. Только в арктангенсе, у меня была перевернутая дробь...Вообщем я подумаю. А Вам еще раз спасибо!

[Vvp_57]

Дошло. Дело в том что у арктангенса есть свойство:
$\arctan \left(x \right)+\arctan \left(\frac{1}{x} \right)=\frac{\pi }{2}$
Поскольку задумывалось:
$\arctan \left(\frac{6}{1\cdot 2\cdot 3} \right)-\arctan \left(\frac{6}{5\cdot 6\cdot 7} \right)+....$

(Оффтоп)

Спасибо, maxal за "телескопичность"--нужное слово.
А в принципе можно "поколдовать" и с четверкой
$\arctan \left(\frac{1}{1\cdot 2} \right)-\arctan \left(\frac{1}{3\cdot 4} \right)+....$
ибо $1\cdot2\cdot3\cdot4+1=k^2$
Конечно же начало всего, у Рамануджана:
$\arctan \left(\frac{1}{n} \right)-\arctan \left(\frac{1}{n+2r}\right)+....$
нашел по ссылке Сриниваса Рамануджан( собственно нужная страница
в блокноте глава2 лист6 (стр14) здесь)
которую выложил juna в интернет ресурсах форума, за что ему бооольшое спасибо(чтоб я без этих ссылок делал?!..).