2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Много раз замечаю в учебниках по математике такую ситуацию: долго и методично мусолим какую-то тему, а потом в качестве замечания (или даже сноски) сообщается более общая теорема, которая охватывает всё изученное, но, к сожалению, доказательство её сложно и поэтому не будем этой теоремой заниматься.

Например, в Зориче, когда изучались условия интегрируемости (по Риману) функций, сначала доказывались разные частные теоремки, скажем, что ограниченная непрерывная функция инетгрируема, монотонная функция интегрируема, ещё по ходу несколько вспомогательных теоремок пришлось доказать. А в заключении, так мельком, чтобы никто не видел, что его дают без доказательства -- критерий Лебега. Очень компактная, ясная и общая теоремка, с лёгкостью охватывающая все вышенаписанные теоремки и несколкьо примерчиков, на коленках решаемые по этому критерию, чтобы окончательно убедить читателя, что он попросту убил время изучая частные теоремки.

Это я навскидку вспомнил, таких примеров много (в Фихтенгольце то же что-то было, но не вспомню).

Мне вот интересно. Почему авторы учебников по математике ставят чистоту курса и последовательность изложения выше практической пользы? Одно дело -- какая-нибудь монография, которая тихо стоит на полке и которой можно тихо восхищаться, насколько же она строга и чиста. Но от учебника же требуется другое! Читателю нафиг не нужна вся эта чистота. Если доказательство теоремы сложно, то ему будет достаточно самого факта его существования. Авторы же другого мнения: мы эту общую теоремы доказать не сможем, но вот этот частный случай, с кучей ограничений мы можем доказать -- так и сделаем!

(Оффтоп)

Я вот ещё постоянно удивляюсь вот чему. К примеру, Виктор Викторов, в недавней теме вроде бы пытается построить какой-то курс, причём максимально строго и последовательно. Но если это обучающий курс (а не игрушка для математиков), то какая читателю от этого польза? Он и так интуитивно представляет что такое открытый интервал, ему не особо важен порядок, в котором вводятся понятия (например, метрика). Так что же из кожи вон лезть, чтобы соблюсти никому не нужную чистоту изложения?

Или вот ещё были темы, про аксиоматическое введение вещественных чисел. Опять, чтобы всё строго и чисто. И опять -- как игрушка для математиков пойдёт, но зачем студенту всё это (если это даётся не как сомоцель, а как часть общего курса, например матана)?

(Оффтоп)

Хотел ещё поныть насчёт принятого порядка изложения, когда сначала идут определения, леммы и т. д.а в конце даётся теоремка, вместо того чтобы сначала толком объяснить читателю, что за теорему мы хотим доказать, зачем она нужна вообще, наметить идею доказательство, а потом уже пуститься в бездну самого доказательства. Но такая тема уже есть (хотя уплыла она от темы куда-то непонятно куда, так что и по этому поводу комментарии приветствуются.)

Интересно, что у физиков другой подход. Они говорят всё честно и открыто. Если закон можно доказать, то доказывают, если доказательство сложно (для данного курса) -- пропускают его. И никому и в голову не придёт из-за сложности доказательства изъять из курса сам закон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:39 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Потому что доказательство важнее теоремы.
Лично я не могу полноценно запомнить теорему, не разобравшись в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan в сообщении #372452 писал(а):
Потому что доказательство важнее теоремы.

Для математики как науки -- да. Но в учебниках такая позиция зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну так учебники пишут математики и обычно подразумевают, что учить по ним будут математику, а не список способов определения интергируемости по Риману. Математика - это не теоремы, а доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Xaositect в сообщении #372455 писал(а):
Математика - это не теоремы, а доказательства.

А что делать студенту, который воспринимает математику как, в конечном счёте, прикладную науку? (Я лично так её и воспринимаю. Не вижу смысла в математике ради математики.) Хочу фейнмановские лекции по физматематике!

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 18:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
caxap в сообщении #372447 писал(а):
Авторы же другого мнения: мы эту общую теоремы доказать не сможем, но вот этот частный случай, с кучей ограничений мы можем доказать -- так и сделаем!

Совершенно правильного мнения. Доказательство частных случаев позволяет пальчиками пощупать, почему это верно хотя бы в принципе. Если же давать утверждения просто без доказательств (или хотя бы пояснений), то логика курса рассыпается и он превращается просто в некий набор заклинаний. Тем более для практических вычислений критерий Лебега вовсе и ни к чему.

caxap в сообщении #372447 писал(а):
Или вот ещё были темы, про аксиоматическое введение вещественных чисел. Опять, чтобы всё строго и чисто. И опять -- как игрушка для математиков пойдёт, но зачем студенту всё это

Про аксиоматическое определение -- это сильно на любителя. Однако как минимум схему построения (не обязательно с техническими деталями) этого множества дать необходимо. Поскольку это база для дальнейшего, да к тому же и хорошая иллюстрация некоторых общих идей.

-- Пн ноя 08, 2010 19:57:05 --

caxap в сообщении #372458 писал(а):
А что делать студенту, который воспринимает математику как, в конечном счёте, прикладную науку? (Я лично так её и воспринимаю. Не вижу смысла в математике ради математики.)

Значит, Вам нужен некий облегчённый курс, где приводятся лишь простейшие доказательства. Но в любом случае: их должно быть достаточно много, и они должны быть рассеяны достаточно равномерно. Иначе у Вас будет лишь иллюзия понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
caxap в сообщении #372458 писал(а):
А что делать студенту, который воспринимает математику как, в конечном счёте, прикладную науку? (Я лично так её и воспринимаю. Не вижу смысла в математике ради математики.) Хочу фейнмановские лекции по физматематике!
Тогда надо теорему Лиувилля/алгоритм Риша и/или численные методы, а не критерий интегрируемости. Для практики, думаю, интегрируемости кусочно-непрерывной функции хватает в большинстве случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372459 писал(а):
Значит, Вам нужен некий облегчённый курс, где приводятся лишь простейшие доказательства. Но в любом случае: их должно быть достаточно много, и они должны быть рассеяны достаточно равномерно. Иначе у Вас будет лишь иллюзия понимания.

Я не уверен, что доказательства в такой ситуации вообще нужны. Кроме тех случаев, когда доказательство сообщает о предмете больше, чем формулировка теоремы. Более нужны примеры задач и ход их решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 21:17 


02/10/10
376
caxap в сообщении #372447 писал(а):
Много раз замечаю в учебниках по математике такую ситуацию: долго и методично мусолим какую-то тему, а потом в качестве замечания (или даже сноски) сообщается более общая теорема, которая охватывает всё изученное, но, к сожалению, доказательство её сложно и поэтому не будем этой теоремой заниматься.

Это типично только для отечественной литературы.
caxap в сообщении #372447 писал(а):
Мне вот интересно. Почему авторы учебников по математике ставят чистоту курса и последовательность изложения выше практической пользы?

см. выше. Нормальные книги рассчитаны либо на фундаменталистов, либо на прикладников. В первом случае материал излагается, так что бы подготовить читателя к самостоятельной исследовательской деятельности, а не к сдаче экзамена, как у нас. А во втором случае, сообщается большое количество фактов в той форме и в том составе, который необходим прикладнику.
Рид ,Саймон (мат. физика) это пример хорошего прикладного курса, а Фолланд (современный анализ) это фундаментальный курс , примеры можно и дальше приводить

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение08.11.2010, 22:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
moscwicz в сообщении #372508 писал(а):
Рид ,Саймон (мат. физика) это пример хорошего прикладного курса,

Ну так уж и прикладного. Ключевые моменты там доказываются и излагаются вполне въедливо, а отсылки к литературе -- лишь на периферийные вопросы. "Прикладной" он лишь в том смысле, что ориентирован на физиков-теоретиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение09.11.2010, 00:34 


20/12/09
1527
А я вот думаю, что надо преподавать математику, излагая понятия и приемы в порядке их исторического появления, так, чтобы была понятна мотивация для чего объекты вводятся.

Делать упор на методы решения задач, а не на теоремы и доказательства.

Начинайте с того что все функции интегрируемые и гладкие,
а разные контрпримеры и тонкости 19 и начала 20 века оставьте на потом,
когда человек уже умеет обращаться с анализом (комплексным), решать уравнения и понимает смысл теории.

-- Вт ноя 09, 2010 00:43:09 --

caxap в сообщении #372458 писал(а):
Xaositect в сообщении #372455 писал(а):
Математика - это не теоремы, а доказательства.

А что делать студенту, который воспринимает математику как, в конечном счёте, прикладную науку? (Я лично так её и воспринимаю. Не вижу смысла в математике ради математики.) Хочу фейнмановские лекции по физматематике!

Решать задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение09.11.2010, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ales в сообщении #372585 писал(а):
А я вот думаю, что надо преподавать математику, излагая понятия и приемы в порядке их исторического появления, так, чтобы была понятна мотивация для чего объекты вводятся.

И вы так пробовали? Сколькисеместровый курс вели, и сколько лет? Как успехи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение09.11.2010, 09:48 


02/10/10
376

(Оффтоп)

ewert
Вы мне всетаки вот это дообъясните post372324.html#p372324

 Профиль  
                  
 
 Re: Математики, или доказательство важнее теоремы
Сообщение14.11.2010, 12:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
caxap в сообщении #372458 писал(а):
А что делать студенту, который воспринимает математику как, в конечном счёте, прикладную науку?

Убить себя апстену! Зачем он такой прикладной нужен?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group