Демидович 2368 (поверхностный интеграл)

[caxap]

С помощью формулы Остроградского--Гаусса вычислить поверхностный интеграл $\displaystyle \iint_S (x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta+z^2\cos\gamma)\,dS$, где $S$ -- внешняя поверхность конуса $\displaystyle\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{a^2}-\frac {z^2}{b^2}=0,\ 0\le z\le b$. (Ответ: $\displaystyle \frac {\pi a^2 b^2}2$)

Сначала нахожу полный поток (включая через верхнюю площадку) по конусу (по формуле ОГ):

$$\begin{gathered} \Phi_{\text{полн}}=2\iiint_V (x+y+z)\,dV=2\left(\iiint_V x\,dV+\iiint_V y\,dV+\iiint_V z\,dV\right)=2\iiint_V z\,dV=\\ =\Big[\text{цилиндрическая с.\,к.}\Big]=2\int_0^b z\,dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^a rdr=\pi a^2 b^2\,. \end{gathered}$$

(Интеграл от $x$ и от $y$ равны 0 в силу симметрии.) Затем считаю поток через верхнюю площадку. Т. к. на ней на всей $z^2=b^2$, $\cos\gamma=1$, а площадь её $\pi a^2/4$, то $\Phi_{\text{верх}}=\pi a^2 b^2/4$.

Ответ будет $\Phi_{\text{полн}}-\Phi_{\text{верх}}=\frac 34 \pi a^2 b^2$, что не совпадает с ответом. Помогите, пожалуйста, найти ошибку.

[mihiv]

При фиксированном $z$ в каких пределах изменяется $r$?

[caxap]

mihiv
Т. к. $x^2+y^2=z^2\cdot a^2/b^2$, то $r=z\cdot a/b$. Получается

$$\Phi_{\text{полн}}=2\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^b z\,dz \int_0^{za/b} r\,dr=\frac 12 \pi a^2b^2$$

Я было уже образовался, но нашёл ошибку во втором потоке (по верхушке). Площадь площадки не $\pi a^2/4$, а $\pi a^2$ (я сначала почему-то посчитал $a$ диаметром ). Так что $\Phi_{\text{верх}}=\pi a^2 b^2$ и $\Phi_{\text{полн}}-\Phi_{\text{верх}}=-\frac 12 \pi a^2 b^2$. Опять не сходится

[ewert]

caxap в сообщении #374942 писал(а):

$\Phi_{\text{полн}}-\Phi_{\text{верх}}=-\frac 12 \pi a^2 b^2$.

Это правда.

[caxap]

ewert
А почему в ответе без минуса? Да и, по-моему, странно, что поток по всей поверхности оказывается меньше, чем по части поверхности.

[ewert]

caxap в сообщении #374945 писал(а):

А почему в ответе без минуса?

Это уже вопрос к Демидовичу.

[caxap]

Ясно. Спасибо всем.

caxap в сообщении #374945 писал(а):

Да и, по-моему, странно, что поток по всей поверхности оказывается меньше, чем по части поверхности.

Вопрос снимается, сам понял.