ряд Фурье

[moscwicz]

Каждой функции $f\in C[0,2\pi]$ поставим в соответствие ее коэффициент Фурье $f_n=\int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}dx.$
Последовательность чисел $\{a_n\}$ такова, что для всякой функции $f\in C[0,2\pi]$ ряд $\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nf_ne^{inx}$ сходится в $C[0,2\pi]$.

Доказать, что оператор $f\mapsto \sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nf_ne^{inx}$ является ограниченным оператором из $C[0,2\pi]$ в себя.

[Padawan]

Рассмотрим последовательность операторов $A_nf=\sum_{k=-n}^n a_kf_ke^{ikx}\colon C[0,2\pi]\to C[0,2\pi]$. Это линейные ограниченные операторы, причём для каждого $f$ последовательность $A_nf$ ограничена (так как сходится). По теореме Банаха-Штейнгауза нормы этих операторов ограничены некоторым числом. Значит, и предельный оператор $Af=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_kf_ke^{ikx}$ тоже ограничен.

-- Сб ноя 13, 2010 22:39:35 --

Что-то мне кажется, что ряд $\sum a_n$ должен абсолютно сходится.

[moscwicz]

это был легкий тролинг. Почему-то в контектсе этой задачи про теорему Б-Ш вспоминают в последнюю очередь, а сначала разворачивают большую науку

[Padawan]

Ну а всё-таки, будет ли ряд из $a_n$ обязательно сходится?

[moscwicz]

Padawan в сообщении #374705 писал(а):

Что-то мне кажется, что ряд $\sum a_n$ должен абсолютно сходится.

Если это так, то операторы $A_n$ сходятся в операторной топологии. Сомневаюсь.

[Руст]

Padawan в сообщении #374723 писал(а):

Ну а всё-таки, будет ли ряд из $a_n$ обязательно сходится?

Думаю нет. $a_n=\frac 1n$ удовлетворяет условию, но ряд расходится.

[Padawan]

Руст
А почему $a_n=\frac 1n$ удовлетворяет условию?

[Руст]

Изменяя только $f_0$ можно считать, что интеграл от функции равен нулю.
Из того, что $f(x)\in L_2$ следует, что $\sum _n|f_n|^2<\infty$.
Для $a_n=\frac{!}{n}$ имеем $\sum_n a_n^2<\infty$, соответственно
$\sum_n |a_nf_n|<\sum_n |f_n|^2+\sum_n a_n^2<\infty $ для любой непрерывной функции.