Найти функцию

[Alexey1]

Подскажите кто знает возрастающие $C^2(\mathbb R)$ функции удовлетворяющие условиям:
1. ограничена на $(-\infty,0]$;
2. неограничена на $(0,\infty)$ и рост близок к линейному (или хотя бы чтобы функция не росла быстро).

[caxap]

$\begin{cases}e^x, & x<0\\x, & x\geqslant 0\end{cases}$

[Alexey1]

caxap в сообщении #374573 писал(а):

$\begin{cases}e^x, & x<0\\x, & x\geqslant 0\end{cases}$

Эта функция не непрерывная. Надо чтобы функция имела непрерывную вторую производную.

[AD]

$F(x)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^te^{-s^2}}\,ds\,dt$

А вообще ясно, что если тупо от руки нарисовать то, что хотим, то всё получится.

[Alexey1]

Спасибо AD, сахар. Просто мне бы несколько таких функций, чтобы потом можно было выбрать простую и удобную для вычислений. Хотелось бы сразу сказать что значит простая и удобная, но это становится ясно только после вычислений.

[caxap]

(Оффтоп)

Alexey1 в сообщении #374583 писал(а):

Эта функция не непрерывная. Надо чтобы функция имела непрерывную вторую производную.

Пардон (я там хотел написать $x+1$ при $x\ge 0$, но всё равно не важно -- первая производная уже имеет излом в $x=0$).

$$f(x)=x(\arctg x+\frac{\pi}2)$$

-- 13 ноя 2010, 18:10 --

(Или обе производные тоже должны возрастать?)
Вообще, можно искать такие функции, которые при стремятся к 0 при $x\to -\infty$ и к константе при $x\to +\infty$ (напр. $\arctg x$ поднятый на $\pi/2$). Если умножить её на какую-нибудь линейную функцию, то, если окажется достаточно гладко -- будет то, что нужно.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #374583 писал(а):

Эта функция не непрерывная. Надо чтобы функция имела непрерывную вторую производную.

Вам фактически хочется, чтоб производная функции была положительна, имела нулевой предел на минус бесконечности и конечный предел на плюс бесконечности (ну с некотороми уточнениями). Так подобных функций сколько угодно можно придумать.

caxap в сообщении #374604 писал(а):

(Или обе производные тоже должны возрастать?)

Вторая производная монотонничать уж никак не сможет, если рост на бесконечности именно линейный.

А если имелась в виду функция с "красивым" поведением -- так первокурсников очень часто любят заставлять нарисовать график $y=\sqrt{1+x^2}+x$.

[Alexey1]

ewert в сообщении #374642 писал(а):

Так подобных функций сколько угодно можно придумать.

В том и дело, что просто хотелось найти как можно больше функций и проверить их все. Но как Вы уже сказали, таких функций очень много. Вот я и спросил, может кто укажет функции (может с параметрами), которые будут с хорошим поведением как Вы и указали. Но вот хорошесть определяется другими критериями (расчётами).