давление и сферические волны

[viktorkrug]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста по примеру. В книге с сферическими волнами давление записывается
$ p = p_0 + p'; p' = \Delta p_0(r-ct)/2r $
В Ландау Лифшице есть похожий пример, но там плотность $\rho'= \Delta (r-ct)/2r $
ищу пример где выводится такое выражение. Не могли бы подсказать по выводу выражения с давлением.
Спасибо.

[viktorkrug]

А это выражение правильное (без ошибок)? Я еще не прочитал про сферические волны хотел сначала найти вывод выражения, ни где не могу найти.
Немного условие не дописал до конца :
Пусть в момент времени t = 0 давление внутри сферического объема радусом a с центром в точке S
внезапно повысилоь на величину
\Delta p_0.

Возникает сферическая звуковая волна. Волна проходит между точками S и P . Волна имеет форму шарового слоя толщиной 2a, щаключенного между сферами радиусов ct - a и ct + a. Внутриэтого слоя давление изменяется по линейному закону
p = p_0 + p'; p' = \Delta p_0 (r-ct)/2r


В наружной части возух сжат, а во внутренней - разрежен.

Не знаю как получить такое выражения для давления

[Himfizik]

А чем вам не нравится вывод в Ландау? Там сказано: $p'= - \rho\delta\phi /\delta t$. А остальное по аналогии с решенной там задачей: решение волнового уравнения, начал. условия и т.д.

[viktorkrug]

Спасибо, вроде бы понял, т.к. в Ландау Лифшице по условиям у сжатого газа $ \rho ' \equiv \Delta $, вне объема $ \rho ' = 0 $, то умножить обе стороны уравнения на скорость звука
C^2, получается выражение для давления.

[Himfizik]

Угу...

[viktorkrug]

Извините, сразу не изучал задачу, сейчас прочитал и по Ландау Лифшицу появился вопрос.
Подскажите пожалуйста.
В задаче газ внутри сферического объема зжат $ \rho ' = 0 \equiv \Delta $
вне объема $ \rho = 0 $,
Начальные условия гласят
$ \phi (r, 0) = 0 , \dot \phi (r,0) = F(r) $

F(r) = 0 при r >a ,$ F(r)= \Delta c^2/ \rho $; при r < a;
из начальных условий f(-r) - f(r) = 0;
$ f'(-r) - f'(r) = \frac {r}{c}}F(r)$
отсюда $- f'(-r) = f'(r) = - \frac {r}{2c}}F(r)$;
для $ f'(\xi) = \frac {c\Delta}{2\rho}} \xi $
как я понял $ \xi = \frac{r - ct}{r}} $

$ F(r) =\frac{ \partial \phi}{\partial t}}; f'(\xi) = \frac{ \partial \phi}{\partial r}} $;
но что такое $ f'(r) = - \frac {r}{2c}}F(r)$;
и почему $ f'(\xi) = \frac {c\Delta}{2\rho}} \xi $ - умноженное на $ \xi, F(r) ;и \frac {r}{2c}} $.
Спасибо огромное за ваши ответы.

[Himfizik]

viktorkrug

$f$ - произвольная функция из решения волнового уравнения для сферической волны. Условие $f'(\xi)=-rF(r)/2c$ появилось из начальных условий на $F(r)$. Посмотрите внимательно, там найдены из начальных условий два соотношения на $f$ и $f'$. Так вот если соотношение на $f$ продифференцировать по времени и разрешить с соотношением на $f'$, то $f'(\xi)=-rF(r)/2c$ вообще говоря станет очевидно. Ну и подставив выражение для $F(r)=-\Delta c^2 / \rho$, будет ответ и на ваш последний вопрос.