Предел

[Бабай]

Здравствуйте!

Требуется найти предел $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i))^{\sqrt{n!}}$.

Одни говорят, что он равен 1, так как число $\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$ есть корень восьмой степени из единицы, и при $n\ge8$ выражение обращается в единицу. Другие говорят, что, представив всё в полярной форме, можно заключить, что предела не существует, так как ни при каком $n$ аргумент не кратен $2\pi$.

Кого слушать?

[ИСН]

Бабай в сообщении #373910 писал(а):

представив всё в полярной форме

ну дак представьте.
Хотя начинать надо с того, как вообще возводить комплексное число в нецелую степень. Ведь это целая проблема. "Где талию делать будем?"

[Gortaur]

Дело в том, что когда Вы возводите комплексное число (скажем, радиуса 1) в степень, у Вас какие варианты есть?
1. степень целая - тогда Вы просто двигаете это число по окружности;
2. степень дробная - тогда в зависимости от знаменателя (несократимой дроби) у Вас число двоится, троится и так далее; а все потому, что множество значений Вашей степени удачно помещается в этих точках. Это как будто у Вас есть веревка у которой через одинаковые расстояния есть узелки. Вы сделали много-много мотков веревки на окружность и у Вас эти узелки на каждом мотке совместились;
3. когда степень иррациональная, то это как если бы Вы немного пошевелили размер окружности или расстояния между узелками - и в итоге у Вас нет устойчивого конечного множества точек на окружности, где эти узелки помещаются, а они в хаосе расположены по окружности (иногда и всюду плотно).

Это легко получить представив комплексное число $z$ модуля $1$ в виде $\exp\{\phi+2\pi k\}$ и пытаясь решить уравнение
$z^{\sqrt{2}} = w$, тогда Ваше $z$ и будет "корнем" степени $\sqrt{2}$ из числа $w$. Вы тут же увидите, что меняя $k$ Вы получаете разные числа.

[moscwicz]

В цитатник:

Gortaur в сообщении #373921 писал(а):

комплексное число (скажем, радиуса 1)

Gortaur в сообщении #373921 писал(а):

3. когда степень иррациональная, то это как если бы Вы немного пошевелили размер окружности или расстояния между узелками - и в итоге у Вас нет устойчивого конечного множества точек на окружности, где эти узелки помещаются, а они в хаосе расположены по окружности (иногда и всюду плотно).

(это тоже в цитатник)
что такое "устойчивого конечного множества точек на окружности"?
что такое "немного пошевелили размер окружности" в данном контексте?
приведите пример, когда иррациональная степень комплексного числа, равного по модулю единице, состоит из не всюду плотного на окружности множества

[Gortaur]

Я здесь не статью писал, а хотел человеку объяснить идею. Для этого пока не обязательно пользоваться абсолютно корректными формулировками? А насчет всюду плотности лично мне лень проверять было, когда это так, когда нет.

[Sasha2]

А вот в этом контекте хотелось бы задать такой вопрос:
Следует ли понимать, что если комплексная варианта ${z_n}$ такова, что варианта $z_n^2$ является сходящейся к некоторому комплексному числу, то это вовсе не означает сходимости самой варианты $z_n$?

[ИСН]

Не очень понял, что такое варианта, но в общем-то ради таких чудес нет нужды даже привлекать комплексные числа. 1, -1, 1, -1...

[Sasha2]

Спасибо.

[Gortaur]

Вот про куб - да, тут уже без комплексных не обойтись.

[Бабай]

ИСН в сообщении #373913 писал(а):

Бабай в сообщении #373910 писал(а):

представив всё в полярной форме

ну дак представьте.
Хотя начинать надо с того, как вообще возводить комплексное число в нецелую степень. Ведь это целая проблема. "Где талию делать будем?"

Полностью согласен, что всё зависит от определения возведения в нецелую степень. Но я как-то не думал, что это такая большая проблема.

Думал сделать вот так:

Используя $e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}$ и свойство $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$, можно заключить, что $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})$. Тем самым, после выбора главного аргумента из интервала $[-\pi,\pi)$, получаем $(e^{-\frac{\pi}{4}i})^{\sqrt{n!}}=e^{-\frac{\pi}{4}\sqrt{n!}i}=\cos{\frac{\pi}{4}\sqrt{n!}}-i\sin{\frac{\pi}{4}\sqrt{n!}}$

Согласен, что здесь я уже по умолчанию возвёл в нецелую степень.
Но тогда само выражение для предела с самого начала не имеет никакого смысла! Значит в комплексном случае нет обобщённого понятия степени числа?

[ИСН]

Беда не в том, что его нет. Его не нет. Его, наоборот, слишком много.
Можно сузить, чтобы осталось одно - например, да, так: "после выбора главного аргумента из интервала $[-\pi,\pi)$"

[Бабай]

ИСН в сообщении #373943 писал(а):

Беда не в том, что его нет. Его не нет. Его, наоборот, слишком много.
Можно сузить, чтобы осталось одно - например, да, так: "после выбора главного аргумента из интервала $[-\pi,\pi)$"

Понял, похоже надо почитать про многозначные функции.

Ладно, ну а сам предел (в обычном смысле) существует? После всего этого я склоняюсь к "нет".

[Gortaur]

Попробуйте по Коши что ли...