Разложить в ряд Тейлора

[Xoma]

Разложить в ряд Тейлора ф-ию z(x,y) в окрестности точки (1,1),до членов второго порядка включительно,если $z^3+2xz+y=0 $при z(1,1)=1
подскажите пожалуйста как разложить мне непонятно как выразить z,а если не надо его выражать то что делать?
обычно находятся $df,d^2f,d^3f$ а подом складывают
А как сдесь быть?

[Joker_vD]

Вам нужно найти $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$. Ну и находите, теорема о дифференцировании неявной функции вам в помощь.

[Xoma]

Не понимаю а как найти dz/dx и dz/dy?
и что за теорема о дифференцировании неявной функции?
Нигде не нашел

[Joker_vD]

Xoma в сообщении #373699 писал(а):

Нигде не нашел

Где вы искали? Откройте первый том "Основ математического анализа" Илина и Позняка на пятнадцатой главе — она вся посвящена теории неявных функций.

Там рассказывается, что если $F(x,y,z)$ дифференцируема в точке, то из $F(x,y,z) = 0$ можно "выдрать" $z = \varphi(x,y)$, и $\varphi(x,y)$ будет дифференцируема. Формулы там жуткие. Я их перепечатаю, только если вы их сами раздобыть не сможете.

Хотя ладно, надо в $\TeX$ тренироваться...

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial z} \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z} - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2 - \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial z} \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial z} }{\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^3}$$

[Xoma]

ладно спасибо я подумаю