Дифференциируемость функции f(x,y) в точке

[Karde]

Никак не могу понять, куда же следовать дальше. Буду рад если поможете.
Есть задание: "определить, дифференцируема ли функция в точке".
функция - > $f(x,y) = \sqrt{(x^2+y^2)}
и точка - > $M(0,0)

Что было сделано:

1) По предположению, что на осях координат $f(x,y) превращается в $|x|$ и $|y|$ соответственно, а значит частные производные в $(0,0)$ не будут существовать.

2) Попытка представить $\Delta f(x,y) = \Delta x f '_x + \Delta y f '_y + o(\rho)$ провалилась на моменте взятия тех самых производных частных, в которых была проблема в самом начале

Что дальше - для меня вопрос, который пока никак не может решиться.

Непрерывность функции в $(0,0)$ очевидна, предел расстояния 0, а вот с дифференцируемостью никак разобраться не могу.

[Narn]

Karde в сообщении #373254 писал(а):

1) По предположению, что на осях координат $f(x,y) превращается в $|x|$ и $|y|$ соответственно, а значит частные производные в $(0,0)$ не будут существовать.

А если бы функция была в нуле дифференцируема, то частные производные ....

[Karde]

Narn в сообщении #373262 писал(а):

Karde в сообщении #373254 писал(а):

1) По предположению, что на осях координат $f(x,y) превращается в $|x|$ и $|y|$ соответственно, а значит частные производные в $(0,0)$ не будут существовать.

А если бы функция была в нуле дифференцируема, то частные производные ....

Очень хочется, чтобы задание на этом кончалось и в ответе можно было написать красивую фразу "функция не дифференциируема." Но как обычно, меня гложат сомнение в том, что получив быстрое и легкое решение я неправильно решаю поставленную задачу. Может у меня уже просто навящивая идея...

[Karde]

И кстати было бы интересно рассмотреть похожий вариант, где функция представляет из себя -> $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ а точка та же.

Здесь все получше, на координатных осях функция принимает значения $x$ и $y$ соответственно.

$f^{'} _x |_{(0,0)}= 1$
$f^{'} _y |_{(0,0)} = 1$

$\Delta f = \Delta x \cdot 1 + \Delta y \cdot 1 + o(\rho) = \sqrt[3]{{\Delta x}^3 + {\Delta y}^3}$

Далее, видимо нужно доказать, что $\lim\limits_{\rho\to 0} o(\rho) = 0$

$\lim\limits_{\rho \to 0} o(\rho) = \lim\limits_{\Delta x \to 0 \Delta y \to 0} {\sqrt[3]{\Delta x^3 + \Delta y^3} - \Delta x - \Delta y } = 0$

Верна ли последняя формула, или же я где-то ошибся?

[gris]

Не имели ли Вы в виду

$$\sqrt[3]{x^3+y^3}$$

?

[Karde]

gris
Вы правы, поправил, спасибо.

[Null]

Надо $\lim\limits_{\rho\to +0} \frac{o(\rho)}{\rho} = 0$, если $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ конечно.

[ewert]

Karde в сообщении #373375 писал(а):

$\lim\limits_{\rho \to 0} o(\rho) = \lim\limits_{\Delta x \to 0 \Delta y \to 0} {\sqrt[3]{\Delta x^3 + \Delta y^3} - \Delta x - \Delta y } = 0$

Верна ли последняя формула, или же я где-то ошибся?

Первое, что должно приходить в голову -- это посмотреть на то, что будет происходить на разных направлениях. Подставьте $\Delta y=\alpha\Delta x$, где $\alpha=\mathrm{const}$. Будет ли полученный предел нулевым?...

Только предел нужен, конечно, не этот. Надо сперва на что-нибудь полезное разделить.

[Klekota]

Насколько я помню, то похожую задачу мы решали, находя лимит производной по прямой y=x и y=-x. Выходит, что при движении к точке с разных сторон( по разным прямым), лимиты отношения прироста функции к приросту аргумента будут иметь противоположный знак. Следовательно не существовать.

Попробуйте так.