Правило Эйнштейна

[krokha]

Подскажите, правильно ли я понимаю правило Эйнштейна (суммирования по повторяющимся индексам) в случаях, когда индекса два (когда один, все понятно) на примере геодезических, уравнение которых:

$$\frac{d^2x^i}{ds^2}=-\Gamma_{kl}^i\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}$$

$i=0,1,2,3\quad,\quad k=0,1,2,3\quad,\quad l=0,1,2,3$
У меня получаются четыре уравнения, первое из которых с $i=0$ имеет следующий вид:

$$\frac{d^2x^0}{ds^2}=-\Gamma_{kl}^0\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=\Big[-\Gamma_{0l}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+ \Big[-\Gamma_{1l}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{2l}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{3l}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]=$$

$$=\Big[-\Gamma_{00}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^0}{ds}-\Gamma_{01}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^1}{ds}-\Gamma_{02}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^2}{ds}-\Gamma_{03}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^3}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{10}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^0}{ds}-\Gamma_{11}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^1}{ds}-\Gamma_{12}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^2}{ds}-\Gamma_{13}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^3}{ds}\Big]+$$

$$\Big[-\Gamma_{20}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^0}{ds}-\Gamma_{21}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^1}{ds}-\Gamma_{22}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^2}{ds}-\Gamma_{23}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^3}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{30}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^0}{ds}-\Gamma_{31}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^1}{ds}-\Gamma_{32}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^2}{ds}-\Gamma_{33}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^3}{ds}\Big]$$

Можете, пожалуйста, проверить его и сказать, правильно ли я его расписал?

[gris]

Правильно. Если Вас смущает порядок раскрытия сумм по индексам $k$ и $l$, то по распределительному и переместительному закону сложения получатся тождественные выражения.

[krokha]

gris, cпасибо!
Правильно ли я понял вторую часть Вашего сообщения как то, что не имеет разницы какие из индексов $k$ или $l$ 'пробегать' первыми?


а получается одно уравнение геодезических:

$$\frac{d^2x^i}{ds^2}=\frac{d^2x^0}{ds^2}+\frac{d^2x^1}{ds^2}+\frac{d^2x^2}{ds^2}+\frac{d^2x^3}{ds^2}$$

Или четыре уравнения:

$$\frac{d^2x^0}{ds^2}=\dots \quad,\quad \frac{d^2x^1}{ds^2}=\dots \quad,\quad \frac{d^2x^2}{ds^2}=\dots \quad,\quad \frac{d^2x^3}{ds^2}=\dots$$

?

[krokha]

Так как будет правильно: четыре уравнения, или одно (сумма)?

[Munin]

Сколько уравнений - смотрите по свободным (неспаренным) индексам. Сколько и каких сумм - по немым (спаренным). На первых порах можете у себя в черновике значок суммы дорисовывать.

[krokha]

Я не знаю, правило суммирования по таким (немым) индексам относится только к выражению слева или ко всему равенству?

Насколько я понимаю, свободный индекс один, который может принимать четыре значения...

Выходит, уравнение одно?

[gris]

Уравнения четыре. По одному для каждого $i$

$$\frac{d^2x^0}{ds^2}=-\Gamma_{kl}^0\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=\Big[-\Gamma_{0l}^0\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+ \Big[-\Gamma_{1l}^0\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{2l}^0\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{3l}^0\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]=...$$

...

$$\frac{d^2x^3}{ds^2}=-\Gamma_{kl}^3\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=\Big[-\Gamma_{0l}^3\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+ \Big[-\Gamma_{1l}^3\frac{dx^1}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{2l}^3\frac{dx^2}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]+\Big[-\Gamma_{3l}^3\frac{dx^3}{ds}\frac{dx^l}{ds}\Big]=...$$

Суммирование не проводится, если индекс стоит в обоих частях уравнения.

[Munin]

krokha в сообщении #373705 писал(а):

Я не знаю, правило суммирования по таким (немым) индексам относится только к выражению слева или ко всему равенству?

К каждому одночлену - произведению. Если между одночленами стоят плюсы или минусы - они рассматриваются по отдельности.

krokha в сообщении #373705 писал(а):

Насколько я понимаю, свободный индекс один, который может принимать четыре значения...Выходит, уравнение одно?

Нет, четыре - по одному на каждое значение свободного индекса. Вот если свободных индексов вообще нет, тогда уравнение одно.

-- 11.11.2010 22:26:22 --

gris в сообщении #373716 писал(а):

Суммирование не проводится, если индекс стоит в обоих частях уравнения.

Нет. Суммирование не производится, если индекс не спаренный. А так в обеих частях уравнения может встретиться "один и тот же" немой индекс:
$a^ib_i=c^id_i,$
что читается так:
$a^1b_1+a^2b_2+a^3b_3+a^4b_4=c^1d_1+c^2d_2+c^3d_3+c^4d_4.$
То есть на самом деле это не один и тот же индекс, просто буква $i$ за пределами $a^ib_i$ ни для чего не задействована, "свободна", и её можно ещё раз использовать в качестве немого индекса. Часто, когда индексов побольше, букв не хватает, и подобным "повторным использованием" приходится вынужденно пользоваться.

[krokha]

Спасибо! Продолжу разбираться...