Z[корень из -6] vs Z[корень из 6]

[sasha_vertreter]

Добрый день,

помогите пожалуйста понять что такое кольцо $R_1=\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ по сравнению с $R_2=\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$.

Правильно я понимаю, что элементы $R_1$ представимы как $a+\sqrt{-6}b$, в то время как для R_2 мы имеем $c+\sqrt{6}d$?

Я знаю, что в $R_1\quad$ $6=2\times3=\sqrt{-6}\sqrt{-6}$ но как мы выполняем умножение в $R_1$ ведь оно не содержит же $\tex{i}=\sqrt{-1}$? и чем оно отличается от умножения в $R_2$ там мы тоже имеем $6=\sqrt{6}\sqrt{6}$

Спасибо!

[ИСН]

sasha_vertreter в сообщении #373210 писал(а):

$6=2\times3=\sqrt{-6}\sqrt{-6}$

с этого места поподробнее

[sasha_vertreter]

ИСН в сообщении #373213 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #373210 писал(а):

$6=2\times3=\sqrt{-6}\sqrt{-6}$

с этого места поподробнее

книжка Ian Stewart "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem" страница 74 (не могу послать скан с работы к сожалению). меня вот это как раз и смутило. очень

[ИСН]

Цитата:

- Зина, там в приемной... Она в приемной?
- В приемной... зеленая, как купорос.
- Теорема - называется, как его... Ферма с этим чертом... В печку ее!

[sasha_vertreter]

ИСН в сообщении #373223 писал(а):

Цитата:

- Зина, там в приемной... Она в приемной?
- В приемной... зеленая, как купорос.
- Теорема - называется, как его... Ферма с этим чертом... В печку ее!

(Ну да, Каутского)
- Она ж казенная, из библиотеки

А если серьезно, Stewart ошибся опять что-ли?

[RIP]

Да, глупость написана. Человек зевнул, что $-1$ стоит под корнем и не возводится в квадрат. (Но пример, по сути, верный.)

[sasha_vertreter]

RIP в сообщении #373434 писал(а):

Человек зевнул, что стоит под корнем

- но это не один только раз, он там постоянно так раскладывает на множители... а получается, что 6 раскладывается на множители единственным образом в $\mathbb{Z}[-6]$? - ведь он как раз и приводил этот пример, чтобы показать, что в некоторых кольцах разложение может быть не единственным... что-то тут должно быть еще с этими $\sqrt{-6}\sqrt{-6}$...

[RIP]

sasha_vertreter в сообщении #373443 писал(а):

получается, что 6 раскладывается на множители единственным образом

Нет. $6=2\cdot3=-\sqrt{-6}\cdot\sqrt{-6}$ --- два существенно разных разложения.

[sasha_vertreter]

вот же, просто минус перед произведением и все. спасибо!