Электрические цепи переменного тока

[Teplorod]

Здравствуйте, не могли бы вы проверить решение одной задачи, в котором я не уверен.
Задача:

Цитата:

Конденсатор емкости $C$, заряженный до напряжения $V_{0}$, разряжается через катушку индуктивности $L_{1}$. Какой максимальный ток можно получить в катушке индуктивности $L_{2}$, если замкнуть ключ $K$ в момент, когда ток индуктивности $L_{1}$ максимален?

Мне было интересно помимо максимального тока текущего через катушку $L_{2}$, получит сам закон, по которому изменяется ток.

Запишем 1-ое правило Кирхгофа для узла "над $L_{1}$". $I_{3}+I_{2}=I_{1}$, в то же время, т.к контур содержащий две катушки - сверхпроводящий (катушки идеальны), то в этом контуре сохраняется магнитный поток: $I_{0}L_{1}=I_{1}L_{1}+I_{2}L_{2}$, записывая второе правило Кирхгофа для контура содержащего катушку и конденсатор получим: $L_{2} \dot{I_{2}}-\frac{q_{3}}{C}=0$, где $q_{3}$-заряд на конденсаторе, продифференцировав это выражение по времени получим: $L_{2}\ddot{I_{2}}-\frac{I_{3}}{C}=0$. Выражая из первых двух уравнений $I_{3}$ через $I_{2}$ получим: $I_{3}=\frac{I_{0}L_{1}-I_{2}(L_{1}+L_{2})}{L_{1}}$. Подставляя это в дифференциальное уравнение: $\ddot{I_{2}}+I_{2}\frac{(L_{1}+L_{2})}{L_{1}L_{2}C}=\frac{I_{0}}{CL_{2}}$. Для решения введем замену $I_{2}=\tilde{I_{2}}+\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}$, тогда получим $\ddot{\tilde{I_{2}}}+\tilde{I_{2}}\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}=0$- уравнение гармонических колебаний его решение: $\tilde{I_{2}}=Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$, где $\omega = \sqrt{\frac{L_{1}+L_{2}}{L_{1}L_{2}C}}$, а$A$ и $B$ - некоторые константы. Решение для $I_{2}$: $I_{2}=\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}+Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$, но по условию $I_{2}(0)=0 \Leftrightarrow 0=A+\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}\Leftrightarrow A=-\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}$ и $\dot{I_{2}}(0)=0\Leftrightarrow B=0$, тогда получим, что $I_{2}=\frac{I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}(1-cos(\omega t)))$, понятно что максимальное значение $I_{2max}=\frac{2I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}$, понятно, что $\frac{CU_{0}^2}{2}=\frac{L_{1}I_{0}^2}{2}$.
Вот второй способ решения этой задачи:
В момент когда $I_{1}$- максимален, то $\dot{I_{1}}=0$, тогда напряжение на конденсаторе равно 0, тогда закон сохранения энергии запишется:$ \frac{CU_{0}^2}{2}=\frac{L_{1}I_{0}^2}{2}=\frac{L_{1}I_{1}^2}{2}+\frac{L_{2}I_{2}^2}{2}$ и в то же время выполняется уравнение $I_{0}L_{1}=I_{1}L_{1}+I_{2}L_{2}$, решая эту систему получим тот же ($I_{2max}=\frac{2I_{0}L_{1}}{L_{1}+L_{2}}$) ответ.

Мне хотелось бы, чтобы вы нашли ошибки, если они есть.