Много раз замечаю в учебниках по математике такую ситуацию: долго и методично мусолим какую-то тему, а потом в качестве замечания (или даже сноски) сообщается более общая теорема, которая охватывает всё изученное, но, к сожалению, доказательство её сложно и поэтому не будем этой теоремой заниматься.
Например, в Зориче, когда изучались условия интегрируемости (по Риману) функций, сначала доказывались разные частные теоремки, скажем, что ограниченная непрерывная функция инетгрируема, монотонная функция интегрируема, ещё по ходу несколько вспомогательных теоремок пришлось доказать. А в заключении, так мельком, чтобы никто не видел, что его дают без доказательства -- критерий Лебега. Очень компактная, ясная и общая теоремка, с лёгкостью охватывающая все вышенаписанные теоремки и несколкьо примерчиков, на коленках решаемые по этому критерию, чтобы окончательно убедить читателя, что он попросту убил время изучая частные теоремки.
Это я навскидку вспомнил, таких примеров много (в Фихтенгольце то же что-то было, но не вспомню).
Мне вот интересно. Почему авторы учебников по математике ставят чистоту курса и последовательность изложения выше практической пользы? Одно дело -- какая-нибудь монография, которая тихо стоит на полке и которой можно тихо восхищаться, насколько же она строга и чиста. Но от
учебника же требуется другое! Читателю нафиг не нужна вся эта чистота. Если доказательство теоремы сложно, то ему будет достаточно самого факта его существования. Авторы же другого мнения: мы эту общую теоремы доказать не сможем, но вот этот частный случай, с кучей ограничений мы можем доказать -- так и сделаем!
(Оффтоп)
Я вот ещё постоянно удивляюсь вот чему. К примеру, Виктор Викторов, в недавней
теме вроде бы пытается построить какой-то курс, причём максимально строго и последовательно. Но если это обучающий курс (а не игрушка для математиков), то какая читателю от этого польза? Он и так интуитивно представляет что такое открытый интервал, ему не особо важен порядок, в котором вводятся понятия (например, метрика). Так что же из кожи вон лезть, чтобы соблюсти никому не нужную чистоту изложения?
Или вот ещё были темы, про аксиоматическое введение вещественных чисел. Опять, чтобы всё строго и чисто. И опять -- как игрушка для математиков пойдёт, но зачем студенту всё это (если это даётся не как сомоцель, а как часть общего курса, например матана)?
(Оффтоп)
Хотел ещё поныть насчёт принятого порядка изложения, когда сначала идут определения, леммы и т. д.а в конце даётся теоремка, вместо того чтобы сначала толком объяснить читателю, что за теорему мы хотим доказать, зачем она нужна вообще, наметить идею доказательство, а потом уже пуститься в бездну самого доказательства. Но такая тема уже
есть (хотя уплыла она от темы куда-то непонятно куда, так что и по этому поводу комментарии приветствуются.)
Интересно, что у физиков другой подход. Они говорят всё честно и открыто. Если закон можно доказать, то доказывают, если доказательство сложно (для данного курса) -- пропускают его. И никому и в голову не придёт из-за сложности доказательства изъять из курса сам закон.
