Формула Фримана-Дайсона (вычислить математическое ожидание)

[pasha_ch]

Задача состоит в вычислении следующего математического ожидания:

$M \prod_{1\le i<j\le n}(\xi_i-\xi_j)^2 $, где
$\xi_i$ - независимые стандартные гауссовские.

Пробовал вывести какую-нибудь реккуренстную формулу, при n=2 получилось 2
при n=3 получилось 20, но выкладки очень сильно усложнились и зависимости я так и не нашел.
Прошу помочь если кто знает.

[mihiv]

Вычисление МО сводится к вычислению интеграла вида:

$$I(\alpha ,n)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp [-\alpha \sum \limits _{i=1}^n\xi_i^2}]\prod \limits _{1\leq i <j\leq n}(\xi _i-\xi_j)^2d\xi _1\dots d\xi _n$$

Вычислим вспомогательный интеграл

$$J(\alpha ,\beta _{ij},n)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp [-\alpha \sum \limits _{i=1}^n\xi _i^2+\sum \limits _{1\leq i <j \leq n}\beta _{ij}(\xi _i-\xi_j)]d\xi _1\dots d\xi_n$$

Интеграл $J$ легко вычисляется (выделением полных квадратов),затем находим интеграл $I$,дважды дифференцируя функцию $J(\alpha ,\beta _{ij},n)$ по каждому $\beta _{ij}$ и полагая после этого все $\beta _{ij}=0.$

[pasha_ch]

Огромное спасибо.