Вычислить

[Руст]

Вычислить:
$a=tg^210^{\circ}+tg^250^{\circ}+tg^270^{\circ}.$
Я несколько громоздко нашёл, что а удовлетворяет уравнению (a-1)(a-5)(a-9)(a+3)=0. Хотелось бы узнать, нет ли более оригинального решения.

[RIP]

Помню я решал эту задачу, так я просто всё написал через синус-косинус, привел к общему знаменателю(он, очевидно, считается), а с числителем разобрался методом "грубой силы", преобразуя произведение тригфункций в сумму/разность. Тоже был бы непрочь узнать про удобоваримое решение.
Хотя нет, вроде бы там были котангенсы. Здесь знаменатель так просто не считается(если считается вообще).

[vbn]

$$\tg^210^{\circ}+\tg^250^{\circ}+\tg^270^{\circ}=(\tg 10^{\circ}-\tg 50^{\circ}+\tg 70^{\circ})^2+2(\tg 10^{\circ}\tg 50^{\circ}-\tg 10^{\circ}\tg 70^{\circ}+\tg 50^{\circ}\tg 70^{\circ}).$$

А далее по формуле (21) из
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html

[Руст]

Возможно это экономичнее.
Я решал обозначив $x=ctg^220^{\circ}=tg^270^{\circ},y=ctg^240^{\circ}=tg^250^{\circ},z=ctg^280^{\circ}=tg^210^{\circ}, a=x+y+z.$
При этом из соотношений для котангенсов двойного угла получаются:
$4y=x-2+\frac{1}{x},4z=y-2+\frac{1}{y},4x=z-2+\frac{1}{z}.$
Выражая симметричные функции получил, что а удовлетворяет уравнению (а+3)(а-1)(а-5)(а-9)=0.