Логика. Импликация. Закон исключенного третьего.

[krokha]

Добрый вечер! Помогите пожалуйста разобраться.
Часто сталкиваюсь с тем, что цепочку рассуждений доводят до логического $0$, в смысле до ложного предложения; и потом из этого ложного предложения заключают то, что хотят (так как импликация из ложной посылки всегда истинна).
Но ведь можно же заключить и обратное тому, что хотят?!
Почему же это работает.

Интуитивно мне кажется что все-таки не все что угодно выводят из $0$, а по принципу исключенного третьего вторую возможность.

Так ли все это?! То есть из ложной посылки действительно можно всё что угодно прямо и сразу вывести или только согласно принципу исключенного третьего. Кстати, это принцип или закон (не знаю в чем разница)?

[caxap]

Приведите конкретный пример.

(Оффтоп)

Обычно мы сначала что-то предполагаем, и если из этого предположения мы пришли к какому-то противоречию, то заключаем, что предположение неверно. Например, можно сделать предположение, что у всех людей голубые глаза, а потом увидеть меня и заключить, что не у всех.
Закон исключённого третьего говорит, что любое утверждение либо истинно, либо ложно (третьего не дано). И если мы исключили один вариант...

[arseniiv]

krokha в сообщении #372098 писал(а):

Часто сталкиваюсь с тем, что цепочку рассуждений доводят до логического $0$, в смысле до ложного предложения; и потом из этого ложного предложения заключают то, что хотят (так как импликация из ложной посылки всегда истинна).
Но ведь можно же заключить и обратное тому, что хотят?!
Почему же это работает.

Вы, часом, не спутали $A \to 0$ и $0 \to A$? Импликация ведь некоммутативная вещь!

[maxmatem]

Цитата:

Часто сталкиваюсь с тем, что цепочку рассуждений доводят до логического $0$, в смысле до ложного предложения; и потом из этого ложного предложения заключают то, что хотят (так как импликация из ложной посылки всегда истинна).

Очень интересно, когда же это часто ?? ну покажите на примере каком-нибудь.

[krokha]

Извините что не привел пример сразу.
Поискал пример тут же, на форуме. Из недавнего, например, нашел, и далее цитирую.

bigarcus в сообщении #364575 писал(а):

Цитата:

$$\varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x\left( {x \in \varnothing \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x\left( {0 \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x1 \Leftrightarrow 1$$

То есть по ходу записи, если мы встречаем ложное высказывание (в данном случае $x\in\varnothing$) то мы можем заменить его на $0$, а из него имплицировать любое угодное нам высказывание? Круто!

-- Пн ноя 08, 2010 01:03:14 --

Цитата:

Обычно мы сначала что-то предполагаем, и если из этого предположения мы пришли к какому-то противоречию, то заключаем, что предположение неверно.

То, что мы приходим к противоречию это, как я понимаю, то, что мы получаем ложное высказывание ('логический $0$'). Но ведь из него тогда имплицировать можно не только то, что наше предположение неверно, но и вообще любое высказывание, например, обратное.

Я понимаю что это не так, что где-то я путаюсь. Мне сильно кажется (но я это не видел написанным) что имплицируем мы не все что угодно, а только оставшееся по принципу исключенного третьего. Но ведь то, что из ложного высказывания импликация всегда верна, все же верно... как же?

[Виктор Викторов]

Цитата:

$$\varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x\left( {x \in \varnothing \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x\left( {0 \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x1 \Leftrightarrow 1$$

Здесь выписаны пять всегда истинных высказываний (тавтологий). Вас заинтересовало, почему импликация ложна только при истинной посылке и ложном заключении. При доказывании теорем мы берем некое истинное высказывание и пытаемся получить истинное заключение. Это первая истинная импликация. Поскольку мы не хотим, чтобы вывод из истинного высказывания получился ложным, то такая импликация определена ложной. Вообще говоря, это всё, что нам нужно. И эти случаи соответствуют нашей интуиции. Но как быть с остальными случаями? Если из ложного высказывания получается ложное высказывание, то импликация истинна (garbage in - garbage out). В основном, Вы удивлены высказываниями типа $A \Rightarrow B$ где $A$ ложно, а $B$ истинно. Да, такая импликация истинна. А как быть? Ведь заключение истинно. В конце концов, какая разница как мы добрались до истины. Посмотрите книгу Шихановича «Введение в современную математику». Её можно легко найти в сети. Там всё подробно разобрано.